授業の目的【日本語】
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テーマ：鏡映群とCoxeter群
ユークリッド空間において超平面に関して対称な点を対応させる変換を鏡映といい，鏡映で生成される群を鏡映群という．例えば，正二面体群や対称群は鏡映群である．鏡映群やその一般化であるCoxeter群，複素鏡映群は表現論，代数幾何学など数学のさまざまな分野に現れ，それ自身現代数学における中心的な研究対象となっている．例えば，Lie代数の構造論，表現論では，Weyl群と呼ばれる鏡映群がその骨格を記述する群として重要な役割を果たしている．有限鏡映群は，生成元・基本関係式，不変式環の構造によって特徴づけられ，ある種のグラフを用いて分類できるなど，美しい理論が展開される．
この卒業研究の目的は，鏡映群，Coxeter 群の理論と関連する話題についてその基礎を身につけることである． |
授業の目的【英語】
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Theme: Reflection groups and Coxeter groups
A reflection group is a group generated by reflections in a Euclidean space. Typical examples of reflection groups are dihedral groups and symmetric groups. Reflection groups and their generalizations (Coxeter groups and complex reflection groups) appear in various fields such as representation theory, algebraic geometry, etc. For example, reflection groups, called Weyl groups, play an important role in the structure and representation theory of Lie algebras. Finite reflection groups are characterized in
terms of generators and relations, and polynomial invariant rings, and classified by using certain graphs.
In this course we study the basics of the theory of reflection groups and Coxeter groups, and related topics. |
到達目標【日本語】
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鏡映群，Coxeter群の理論と関連する話題について基本的な概念，手法，アイデアを習得するとともに，その過程を通してこれまでに学んできた数学をより自分のものにすることを目標とする．また，文献を読んでその内容を理解し，さらにそれを他人に説明ができ，的確に質疑応答ができるようになることも重要な目標となる． |
到達目標【英語】
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The goals of this course are to
- acquire the basic concepts, techniques and ideas in the theory of reflection groups and Coxeter groups and related topics,
- become more proficient in mathematics you have learned so far,
- obtain strong skills in reading and writing so that you can freely exchange mathematical ideas with others.
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授業の内容や構成
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この卒業研究では，鏡映群，Coxeter群の標準的な教科書の 1 つである下記の [1] をテキストとして，有限鏡映群の分類，その作用に関する不変式環の構造定理などの鏡映群の基礎を学習した後，有限鏡映群の一般化である Coxeter群の理論を学ぶ．(テキストについては，受講者と相談の上変更する可能性もある．)さらに，余裕があれば，複素鏡映群やLie代数などの関連する話題に触れる．
週に1回(あるいは2回)合わせて3時間程度，主に輪講形式のセミナーによって，まずは [1] を読み進めていく．必要に応じて，講義，演習なども行う． |
履修条件
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線型代数をある程度使いこなせることが必要である．また，群論，環論などの代数系の基礎を身につけていることが望ましい．
【定員超過の場合の選考方法】
定員を上回る学生が分属を希望した場合には，オフィスアワー期間中に面談をした学生を優先し，3年春学期までの学業成績，3年秋学期の履修科目なども考慮して，最終的な分属者を決定する． |
関連する科目
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線形代数学，微分積分学，現代数学基礎，代数学要論，代数学続論 |
成績評価の方法と基準
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セミナーへの参加状況，準備も含めた発表状況に基づいて行う． |
不可(F)と欠席(W)の基準
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履修取り下げ届が提出された場合は「欠席」とする．欠席を繰り返した場合は「不可」とする． |
教科書・テキスト
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*[1] J. E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups, (Cambridge Studies in Advanced Mathematics 29), Cambridge Univ. Press, 1992. |
参考書
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[2] A. Bjorner and F. Brenti, Combinatorics of Coxeter Groups, Graduate Texts in Mathematics 231, Springer, 2005.
[3] A. V. Borovik and A. Borovik, Mirrors and Reflections: The Geometry of Finite Reflection Groups, Universitext, Springer 2009. (邦訳：鏡映の数学 有限鏡映群の幾何学)
[4] G. I. Lehrer and D. E. Taylor, Unitary Reflection Groups, Australian Math. Soc. Lect. Ser. 20, Cambridge Univ. Press, 2009.
[5] R. Kane, Reflection Groups and Invariant Theory, CMS Books in Mathematics, Springer, 2001.
[6] L. C. Grove and C. T. Benson, Finite Reflection Groups, Graduate Texts in Mathematics 99, Springer, 1985.
[7] J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Graduate Texts in Mathematics 9, Springer, 1972.
授業中にも関連する文献を紹介する． |
課外学習等 (授業時間外学習の指示)
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自分が発表するしないに関わらず予習が必要である．また，テキストにある演習問題も解いてほしい． |
注意事項
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質問への対応方法
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オフィスアワー，メールなどで受け付ける．
【卒業研究分属に関するオフィースアワー】
日時：12月4日(月) 15:00〜16:00，
12月11日(月) 17:00〜18:00，
12月18日(月) 17:00〜18:00
場所：理学部A館427(研究室)
この時間帯で都合が悪い場合やオンライン(Zoom)を希望する場合は，あらかじめメールでアポイントメントを取ってください． |
他学科聴講の可否
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可 |
他学科聴講の条件
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オブザーバーとしての参加であれば認める． |
レベル
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2 |
キーワード
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鏡映群，ルート系，不変式環，Coxeter 群 |
履修の際のアドバイス
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学んだことがない事項でも，必要になったときに調べて習得しようという姿勢が重要である． |
授業開講形態等
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対面での開講を予定している．授業形態等に変更がある場合には，メールあるいはTACTの授業サイトで案内する． |
遠隔授業(オンデマンド型)で行う場合の追加措置
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遠隔授業の場合は，対面授業に相当する教育効果を確保するための措置を講じる．方法などはメールあるいはTACTの授業サイトで案内する． |
