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教育・就職 2024年度少人数クラスシラバス森吉　仁志

ファイル更新日：2024年03月06日

教育・就職

■少人数クラスシラバス■

●森吉　仁志

学部・大学院区分 Undergraduate / Graduate	多・博前
時間割コード Registration Code
科目区分 Course Category	B類(講究) C類(実習)/Category B Category C
科目名【日本語】 Course Title	トポロジー講究1 トポロジー講究2 トポロジー講究3 トポロジー講究4 トポロジー実習1 トポロジー実習2 トポロジー実習3 トポロジー実習4
科目名【英語】 Course Title	Seminar on Topology 1 Seminar on Topology 2 Seminar on Topology 3 Seminar on Topology 4 Practical Class on Topology 1 Practical Class on Topology 2 Practical Class on Topology 3 Practical Class on Topology 4
コースナンバリングコード Course Numbering Code
担当教員【日本語】 Instructor
担当教員【英語】 Instructor
単位数 Credit	B類4単位 C類1単位
開講期・開講時間帯 Term / Day / Period
授業形態 Course style	セミナー
学科・専攻 Department / Program	多元数理科学研究科
必修・選択 Compulsory / Selected	選択必修

授業の目的【日本語】 Goals of the Course(JPN)	【特性類あるいは $K$ 理論とその応用】位相幾何および微分幾何において不可欠の知識である「特性類(Characteristic class)」や，非可換幾何において主要な研究手段を提供する「$K$理論」について，その基本知識を習得します．加えて，数学的に筋道の通った発表を行って質問にも的確に受け答えする能力を獲得することを他方の目的とします．これにより，さらに高度な数理科学を学習する際に必要となる，体系的かつ論理的な思考力と表現力を身につけることを目指します．
授業の目的【英語】 Goals of the Course	[Characteristic classes and/or $K$-theory and its applications] The theory on Characteristic classes and/or $K$-theory is nowadays mandatory in Topology and Differential Geometry. This course will lay a foundation of them. The goal is to acquire basic knowledge on the subject as well as an ability to apply logical reasoning in seeking solutions to Mathematical problems.
到達目標【日本語】 Objectives of the Course(JPN)	この授業では，以下の知識・能力を習得することを目標とします．・特性類(Characteristic class) や K理論に関する基本知識．・数学的内容を整理して明瞭な発表を行い，質問に対しても的確に応答できる能力．
到達目標【英語】 Objectives of the Course	The goal is twofold. You will to acquire basic knowledge and skills on Topology as well as an ability to apply logical reasoning in seeking solutions to Mathematical problems.
授業の内容や構成 Course Content / Plan	【特性類あるいは K 理論とその応用】特性類は，群のコホモロジーとの関連や二次特性類への拡張などを含めて種々の一般化が行われており，現在でも活発な研究が行われている対象です．またアティヤー–シンガー(Atiyah–Singer) 指数定理は20世紀数学の精華のひとつであり，特性類理論の深遠な応用を与えます．さらに$K$理論は，Atiyah-Singer指数定理の延長上にある非可換幾何において，重要な役割を果たします．このテーマでは具体的には以下の内容を扱います： A) スティーフェル–ホイットニー(Stiefel–Whitney) 類・チャーン(Chern) 類・ポントリャーギン(Pontrjagin) 類などの特性類とその応用に関する基本知識； B) 位相幾何から関数解析まで含めた広い分野への適用を意識した$K$理論の基本知識．前後期ともに毎週90分から180分程度の時間で少人数クラスを開催します．参加者の興味と到達度を考慮して，以下に挙げたテキストのいずれかを選び，毎回1名から2名の発表者を指定して，輪講形式での学習を行います．発表者には特に入念な準備が求められます． [Characteristic classes and/or $K$-theory and its applications] The theory on Characteristic classes is generalized even now including applications to group cohomology and secondary characteristic classes and it is active research area in Topology. The Atiya–Singer Index theorem is one of the most celebrated theorem in the 20th century, which provides profound applications of Characteristic classes. The $K$-theory also plays an important role in Noncommutative Geometry, in which the Atiyah–Singer Index theorem is much generalized. In the courses, we deal with the following topics: A) The Stiefel–Whitney, Chern and Pontrjagin classes and their applications to Topology; B) Foundations of the $K$-theory including applications to Topology and even Functional Analysis. The course is organized as a seminar and will be provided in 90/180 minutes. We shall use one of the following textbooks depending on the interest and backgrounds of students.
履修条件 Course Prerequisites	線型代数や微積分の内容をしっかりと理解していることは大前提です．また位相空間論を理解していることを前提とします．また3年次までに学習した内容を理解して，使えるようにしておくことが望まれます．しかしそれ以上に，率先して文献等に当り，例え知らないことであっても調べて身につけようという自主性が重要です．
関連する科目 Related Courses	幾何学概論I(幾何学続論)
成績評価の方法と基準 Course Evaluation Method and Criteria	セミナーでの発表内容と参加状況から，位相幾何学の基礎知識の習熟度と，明瞭な発表と適切な応答を行う能力の獲得度を評価します．各学期で課せられた数回の発表を行い，他者による発表にも積極的に参加して貢献することを合格の基準とします．
教科書・テキスト Textbook	各履修者と相談して，以下の参考書リストの中からテキストを選定します．
参考書 Reference Book	[M] Milnor, Characteristic classes, Princeton University Press [T] Loring W. Tu，An Introduction to Manifolds (Universitext), Springer [BT] Bott-Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, GTM 82, Springer-Verlag [D] Dupont, Curvature and characteristic classes, LNM 640, Springer-Verlag [S] Shanahan, The Atiyah–Singer Index Theorem, LNM 638, Springer-Verlag [R] Roe, Elliptic operators, topology and asymptotic methods. Longman
課外学習等 (授業時間外学習の指示) Study Load(Self-directed Learning Outside Course Hours)	輪講形式で授業を進めますので，とくに発表者には入念な準備を求めます．毎回発表をするわけではありませんが，発表回では授業時間の数倍にあたる時間をかけてテキストの予習をしてください．
注意事項 Notice for Students	分属を希望する場合にはメイルでの連絡をお願いします．オンラインでの面談も可能です．
質問への対応方法 How to Ask Questions	以下のメイルアドレスに連絡してください．
他学科聴講の可否 Propriety of Other department student’s attendance	要相談
他学科聴講の条件 Conditions for Other department student’s attendance	ありません
レベル Level	2
キーワード Keyword	特性類，$K$理論，アティヤー–シンガー(Atiyah–Singer) 指数定理
履修の際のアドバイス Advice	予備知識として，学部3 年生までに学習する内容は不可欠です．また線型代数や微積分学の内容をしっかりと理解していることは大前提です．加えて，多様体の基礎知識とホモロジー論などの位相幾何の初等知識，微分幾何の初等知識をもっていることを望みます(しかし前提条件ではありません)．
授業開講形態等 Lecture format, etc.	対面で行います．
遠隔授業(オンデマンド型)で行う場合の追加措置 Additional measures for remote class (on-demand class)	必要があればメイル等を通じて連絡します．