ファイル更新日:2024年03月06日
教育・就職
■少人数クラスシラバス■
●高橋 亮
学部・大学院区分
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多・博前 |
時間割コード
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科目区分
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B類(講究) C類(実習)/Category B Category C |
科目名【日本語】
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代数学講究1 代数学講究2 代数学講究3 代数学講究4 代数学実習1 代数学実習2 代数学実習3 代数学実習4 |
科目名【英語】
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Seminar on Algebra1 Seminar on Algebra2 Seminar on Algebra3 Seminar on Algebra4 Practical Class on Algebra 1 Practical Class on Algebra 2 Practical Class on Algebra 3 Practical Class on Algebra 4 |
コースナンバリングコード
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担当教員【日本語】
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高橋 亮 |
担当教員【英語】
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Ryo Takahashi |
単位数
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B類4単位 C類1単位 |
開講期・開講時間帯
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授業形態
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セミナー |
学科・専攻
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多元数理科学研究科 |
必修・選択
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選択必修 |
授業の目的【日本語】
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テーマ:可換環論
可換環論は,文字通り(積が)可換な環の理論です.代数幾何学,整数論,表現論,非可換環論,位相幾何学,組合せ論,計算機代数,そして近年では統計学や物理学など,さまざまな分野と関わりを持っています.この少人数クラスでは,まず[BH][M]などを用いて可換環論の基礎知識を身につけます.その後はいろいろな方向があるので,受講生と相談してテキストを決めます.たとえば可換環の表現論を学ぶ場合は,[LW][Y]などを用いることになります. |
授業の目的【英語】
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Commutative algebra studies commutative rings, that is, rings with commutative multiplication. The definition of a commutative ring is that of a field minus the division axiom. Commutative algebra is closely related to many areas including algebraic geometry, algebraic topology, number theory, representation theory, noncommutative algebra, algebraic combinatorics, computer algebra, and recently even to statistics and physics. In this course, all the students first learn fundamentals of commutative algebra by using [BH][M]. Then each student chooses a textbook of a specific branch of commutative algebra. For example, if he/she wants to study the representation theory of commutative rings, he/she should choose [LW][Y]. |
到達目標【日本語】
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どの方向を選ぶかで到達目標は変わります.たとえば可換環の表現論を選んだ場合は,「有限Cohen–Macaulay表現型のGorenstein環は単純特異点であり極大Cohen–Macaulay加群がすべて分類できる」というBuchweitz–Greuel–Herzog–Knoerrer–Schreyerの定理が一つの到達目標になります. |
到達目標【英語】
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It depends on which aspect you choose. If you choose the representation theory of commutative rings, one of the goals is the theorem of Buchweitz–Greuel–Herzog–Knoerrer–Schreyer which asserts that a Gorenstein ring of finite Cohen–Macaulay representation type is a simple singularity and the maximal Cohen–Macaulay modules can be classified completely. |
授業の内容や構成
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週に1〜2回,学生が教科書を読んで発表するセミナー形式で行います.
Each student reads a textbook and explains it at a seminar held once or twice a week. |
履修条件
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学部で習う代数(線形代数・群論・環論・体論)や位相空間論は必須です.
This course is given in Japanese. |
関連する科目
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代数学要論IIなど |
成績評価の方法と基準
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セミナー発表を通して理解度を測り,それに応じて評価します. |
教科書・テキスト
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[BH] W. Bruns; J. Herzog, Cohen–Macaulay rings, Revised edition, Cambridge University Press, 1998. [LW] G. J. Leuschke; R. Wiegand, Cohen–Macaulay representations, American Mathematical Society, 2012. [M] 松村 英之, 復刊 可換環論, 共立出版, 2000. [Y] Y. Yoshino, Cohen–Macaulay modules over Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press, 1990. |
参考書
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[AM] M. F. Atiyah; I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1994. [B] N. Bourbaki, Commutative algebra, Chapters 1–7, Springer, 1998. [E] D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer, 1995. [GW] 後藤四郎; 渡辺敬一, 可換環論, 日本評論社, 2011. [H] 堀田良之, 可換環と体, 岩波書店, 2006. |
課外学習等 (授業時間外学習の指示)
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学生が発表するセミナー形式のため,予習が必須となります. |
注意事項
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質問への対応方法
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個別に対応するので,まずは担当教員にメールしてください. |
他学科聴講の可否
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可 |
他学科聴講の条件
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あらかじめ担当教員にメールで連絡してください. |
レベル
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2 |
キーワード
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Cohen–Macaulay環,Gorenstein環,極大Cohen–Macaulay加群,正準加群,孤立特異点,行列因子化,単純特異点,有限表現型,安定圏,導来圏 |
履修の際のアドバイス
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セミナー発表の準備段階で最も大切なことは,理由を聞かれた場合に説明できないような箇所を残したまま読み進めないようにすることです.何時間もかけてほんの数行しか読み進められなくても,一行一行理解できるまでじっくり読み込むという姿勢が重要です. |
授業開講形態等
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対面で黒板を用いて行います. |
遠隔授業(オンデマンド型)で行う場合の追加措置
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