群対称な状態族の一般論

以下では,先に述べた boson coherent 状態族や spin $\frac{j}{2}$ 状態族のように群の作用に関して共変的な状態族 に対する非漸近的な取り扱いの下でのミニマックス法や Bayes 法について述べる. 以下の内容はHolevo[22]により定式化された． 群 $G$ の Hilbert 空間 ${\cal H}$ へのユニタリ表現 $V$ を考え, 状態族 ${\cal S}:= \{ \rho_{\theta} \in {\cal S}({\cal H}) \vert \theta \in \Theta \}$ が群 $G$ の作用 $\rho_{\theta} \mapsto V_g \rho_{\theta} V_g^*$ の下で不変であるとき, 状態族 ${\cal S}$ はユニタリ表現 $V$ について共変的という. 特に,状態 $V_g \rho_{\theta} V_g^*$ を $\rho_{g \theta}$ と記すことにする.

ユニタリ表現 $V$ について共変的な状態族 ${\cal S}$ に対して,推定量 $M$ が以下の条件を満たすとき 推定量 $M$ は共変的とよばれる.

$$V_g M( \hat\theta) V_g^* = M ( g^{-1} \hat\theta), \quad \forall g \in G, \forall \hat\theta \in \Theta.$$

共変的な状態族 ${\cal S}$ については次の量子 Hunt-Stein の定理が成り立つ.

定理 1   risk 関数 $W$ が群 $G$ の作用に関して不変とする. このとき,以下の式が成り立つ.

$$\min_M {\cal D}^W (M)= \min_{M: \hbox{cov}} {\cal D}^W (M).$$

さらに, Hilbert 空間 ${\cal H}$ の次元が有限であり, $\Theta$ 上の事前分布 $\nu$ が群 $G$ に関して不変であるならば,

$$\min_M {\cal D}^W (M)= \min_M {\cal D}^{W,\nu}(M)= \min_{M: \hbox{cov}} {\cal D}^W (M)= \min_{M: \hbox{cov}} {\cal D}^{W,\nu}(M)$$

となる. また,さらに表現 $V$ が既約であるとき,

$$\min_M {\cal D}^W (M)= \min_{P: \hbox{pure state}} \mathop{\rm Tr}\nolimits W(\hat\theta) P$$ (3)

となる.ただし, $W(\hat\theta)$ は以下で定義される.

$$W(\hat\theta):= \dim {\cal H} \int_\Theta W(\theta,\hat\theta)\rho_\theta \nu (\,d \theta).$$

無限次元の場合は $\dim {\cal H} \cdot \nu (\,d \theta)$ を $\int_\Theta\rho_\theta \nu (\,d \theta)= \mathop{\rm I}\nolimits$ となる $\Theta$ 上の群作用不変な測度 $\nu$ に置き換える. ただし,一般には既約表現 $V$ に関して共変的な状態族であっても, ${\cal H}$ が無限次元であれば, そのような $\nu$ が存在するとは限らない.

ここで $W(\hat\theta)$ そのものは $\hat\theta$ の取り方に依存するが, $W(\hat\theta)$ の固有値は $\hat\theta$ の取り方に依存しないことに注意されたい. したがって()の右辺の値は $\hat\theta$ の取り方に依存しない.