boson coherent 状態族

ベクトル $\vert\rangle , \vert 1\rangle , \cdots , \vert n \rangle , \cdots$ を正規直交基底とする Hilbert 空間 $L^2(\mathbb {R})$ を考える. （ $\vert n \rangle$ に $n$次の Hermite 関数を対応させると $\mathbb {R}$ 上の ２乗積分空間 $L^2(\mathbb {R})$ になる.） この Hilbert 空間 $L^2(\mathbb {R})$ は振動数一定の光子からなる量子系の表現空間になる. このとき状態 $\vert n \rangle \langle n \vert$ を光子の個数が $n$ の状態であると見なすことができる. このように粒子の個数（0 を含む正の整数）に対応するベクトルが 表現空間の正規直交基底になる粒子のことを Bose 粒子（boson）とよぶ. （個数が 0 または $1$ に制限される粒子は Fermi 粒子（fermion） とよばれる.）

次に，boson coherent ベクトル $\vert\alpha\rangle_a:= \sum_{n=0}^\infty e^{-\frac{\vert\alpha\vert^2}{2}}\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} \vert n \rangle ( \alpha \in \mathbb {C})$ を考え, それに対応する密度行列 $\rho_{\infty,\alpha}:=\vert\alpha\rangle_a ~_a\langle \alpha\vert$ は boson coherent 状態とよばれる. boson coherent 状態は比較的安定な状態で量子光学で重要な役割を果たす. （ここで添字に $\infty$ を用いた理由は後の議論で明らかになるように 先の spin $\frac{j}{2}$ coherent 状態の $j \to \infty$ として捉えること ができる点にある.） そして,boson coherent 状態 $\rho_{\infty,\alpha}$ からなる状態族 ${\cal S}_{\infty}:=\{ \rho_{\infty,\alpha} \in {\cal S}(L^2(\mathbb {R}))\vert \alpha \in \mathbb {C}\}$ は boson coherent 状態族とよばれる.

ここで同じ boson coherent 状態 $\rho_{\infty,\alpha}$ に置かれた２つの量子系からなる 合成系を考える. このとき合成系の状態は $\rho_{\infty,\alpha}\otimes \rho_{\infty,\alpha}$ になるが, 適当なユニタリ変換を施すこと, $\rho_{\infty,\alpha}\otimes \rho_{\infty,\alpha} \mapsto \rho_{\infty,\sqrt{2}\alpha}\otimes \rho_{\infty,0}$ と状態変化が起きる. 一般には $s,t$ に応じて適当なユニタリ変換を施すこと, $\rho_{\infty, \sqrt{s}\alpha}\otimes \rho_{\infty, \sqrt{t} \alpha} \mapsto \rho_{\infty, \sqrt{s+t}\alpha}\otimes \rho_{\infty,0}$ と状態変化が起きる. もし, 未知パラメータ $\alpha$ にのみ注目するのであれば, １番目の系のみ注目すれば十分である． これは boson coherent 状態の安定性とも言える性質で, この性質があるため boson coherent 状態族の推定は量子推定全体の中でも 基本的かつ重要な意味を持つ. ２つの boson coherent 状態 $\rho_{\infty,\alpha_1},\rho_{\infty,\alpha_2}$ の Bure の距離,量子類似度,Riemann 計量に基づいた距離は 以下のように計算できる.

$$d_b^2( \rho_{\infty,\alpha_1} \Vert \rho_{\infty,\alpha_2}) = 2\left( 1- \exp \left( - \frac{\vert \alpha_1- \alpha_2\vert^2}{2}\right)\right),$$

$$A( \rho_{\infty,\alpha_1} \Vert \rho_{\infty,\alpha_2}) = d_b^2( \rho_{\infty,\alpha_1} \Vert \rho_{\infty,\alpha_2})= 4 \vert \alpha_1- \alpha_2\vert^2 .$$

なお,量子相対エントロピーは $\alpha_1 \neq \alpha_2$ のとき発散する.

さらに,boson coherent 状態族は 群表現から導かれる作用に対して閉じている. 今ここで対角成分が１となる上半３角行列なす群 $$% latex2html id marker 3428 \left\{\left. t(a,b,c) = \left... ...1 \end{array}\right) \right\vert a,b,c \in \mathbb {R}\right\}$$ の $L^2(\mathbb {R})$ への表現 $V(t(a,b,c)):= e^{i c} e^{i a P} e^{i b Q}$ を考える. （$Q,P$ はそれぞれ $L^2(\mathbb {R})$ 上の掛け算作用素,微分作用素の $-i$ 倍を表す.これが群の表現であることは $[Q,P]=i$ であることから確認できる.）

この群の作用の下で, 以下の関係式が成り立つ.

$$V(t(a,b,c)) \rho_{\infty,\alpha}V(t(a,b,c))^*= \rho_{\infty,\alpha+ (a+ b i)}.$$

この作用は boson coherent 状態族に対して推移的である.