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: 量子推定の枠組み : 量子状態族 : boson coherent 状態族


$ \mathop{\mathfrak {su}}\nolimits (1,1)-\lambda$ coherent 状態族

量子光学では boson coherent 状態の次に扱いやすい状態として スクイズド状態が知られている. 以下ではスクイズド状態を一般化した $ \mathop{\mathfrak {su}}\nolimits (1,1)-\lambda$ coherent 状態 を扱う. なお,スクイズド状態の定義及び $ \mathop{\mathfrak {su}}\nolimits (1,1)-\lambda$ coherent 状態が スクイズド状態の一般化になっていることについては[15]を参照のこと. はじめに,
$\displaystyle [e_0,e_{\pm}] = \pm 2 e_{\pm} ,\quad
[e_+, e_-] = e_0$      

となる交換関係を満たす基底 $ \{e_0,e_+,e_-\}$ から構成される Lie 代数 $ \mathop{\mathfrak {su}}\nolimits (1,1)$ の既約な skew adjoint 表現を考える. すなわち,
$\displaystyle [E_0,E_{\pm}] = \pm 2 E_{\pm} ,\quad
[E_+, E_-] = E_0$      

なる交換関係を満たす Hilbert 空間 $ {\cal H}$ 上の skew adjoint 作用素( $ i$ 倍すると自己共役になる作用素) の3つ組 $ ( E_0,E_+,E_-)$ $ \mathop{\mathfrak {su}}\nolimits (1,1)$ の skew adjoint 表現とよび, この表現を下に coherent 状態を構成する. まずここで,3つ組 $ ( E_0,E_+,E_-)$ をもとに 3つ組 $ (L_0, L_+, L_-)$ を以下で定義する.

$\displaystyle L_0 := i(E_- - E_+) , \quad L_\pm := \bigl(E_0 \pm i(E_+ + E_-)\bigr)/2 .$    

これらは以下の関係を満たす.
$\displaystyle [ L_0, L_\pm ] = \pm 2 L_\pm , \quad
[ L_+, L_- ] = L_0
, \quad L_0^* = L^0, \quad L_+^* = L_-.$     (2)

さらに,表現の既約性より, 表現は $ \ker L_+,\ker L_-$ によって以下の3つに分類される.

  % latex2html id marker 3479
$\displaystyle \hbox{Case 1}: {\rm dim}~~ {\rm Ker}~~ L_+ = 0, \quad {\rm dim}~~ {\rm Ker}~~ L_- = 1$    
  % latex2html id marker 3480
$\displaystyle \hbox{Case 2}: {\rm dim}~~ {\rm Ker}~~ L_+ = 1, \quad {\rm dim}~~ {\rm Ker}~~ L_- = 0$    
  % latex2html id marker 3481
$\displaystyle \hbox{Case 3}: {\rm dim}~~ {\rm Ker}~~ L_+ = 0, \quad {\rm dim}~~ {\rm Ker}~~ L_- = 0.$    

以下では Case 1 の場合にのみ限定して話を進める.

$ \vert 0 \rangle$ を規格化された(ノルム1の ) $ \ker L_-$ の固有ベクトルとする. このとき $ \vert 0 \rangle$$ L_0$ の固有ベクトルになり, その固有値 $ \lambda$ は正の実数になる. そして, $ \vert n \rangle :=
\frac{1}{\Vert L_+^n \vert 0 \rangle\Vert} L_+^n \vert 0 \rangle$ とすると以下の関係式が成り立つ.

$\displaystyle L_0 \vert n \rangle= ( \lambda + n ) \vert n \rangle, \quad
L_+ \...
...1\rangle , \quad
L_- \vert n \rangle =\sqrt{n(\lambda+n-1)}
\vert n -1\rangle .$      

Case 1 の表現は表現の既約性から最小固有値 $ \lambda$ の値だけで分類される. このような準備の下で任意の $ \zeta \in D$$ D$ は単位円板) に対して $ \mathop{\mathfrak {su}}\nolimits (1,1)-\lambda$ coherent ベクトル $ \vert \zeta\rangle_{a,\lambda}$ を以下で定義する.

$\displaystyle \vert \zeta \rangle_{a,\lambda}$ $\displaystyle : = U\left(\frac{1}{2}e^{i\arg \zeta}\ln\frac{1+\vert\zeta\vert}{1-\vert\zeta\vert} \right)~\vert 0 \rangle$    
  % latex2html id marker 3509
$\displaystyle = \exp(\zeta L_+) \exp \left( \frac{1}{2} \ln (1-\vert\zeta\vert^2) ~L_0 \right) \exp(\zeta^* L_-) ~\vert 0 \rangle$    
  % latex2html id marker 3510
$\displaystyle = (1-\vert\zeta\vert^2)^{\lambda/2}\exp(\zeta L_+)~\vert 0 \rangle.$    

ここでユニタリ作用素 $ U(\xi )$

% latex2html id marker 3514
$\displaystyle U(\xi ):= \exp \left( \xi L_+ - \xi^* L_+^* \right)$

と定義した. そして純粋状態 $ \rho_{-\lambda,\zeta}:=
\vert \zeta \rangle_{a,\lambda} ~_{\lambda,a} \langle\zeta\vert$ $ \mathop{\mathfrak {su}}\nolimits (1,1)-\lambda$ coherent 状態とよび, それらが構成する状態族を $ \mathop{\mathfrak {su}}\nolimits (1,1)-\lambda$ coherent 状態族とよび $ {\cal S}_{-\lambda}$ と記す. ここで添字 $ -\lambda$ を用いた理由は後に議論するように, ある意味で先の spin $ \frac{j}{2}$ coherent 状態の $ j$ が負の場合と 捉えることが可能であるからである.

次に $ \rho_{-\lambda,\zeta}$ の2回のテンソル積状態 $ \rho_{-\lambda,\zeta}^{\otimes 2}$ $ \mathop{\mathfrak {su}}\nolimits (1,1)$ の skew-adjoint 表現 % latex2html id marker 3536
$ (E_0 \otimes \mathop{\rm I}\nolimits + \mathop{\rm...
...+ ,
E_- \otimes \mathop{\rm I}\nolimits + \mathop{\rm I}\nolimits \otimes E_- )$ の下 (この表現の最低固有値は $ 2 \lambda$ となる.)で $ \mathop{\mathfrak {su}}\nolimits (1,1)-2\lambda$ coherent 状態 $ \rho_{-2\lambda,\zeta}$ になる. 同様に $ n$ 回テンソル積状態 $ \rho_{-\lambda,\zeta}^{\otimes n}$ $ \mathop{\mathfrak {su}}\nolimits (1,1)-n\lambda$ coherent 状態 $ \rho_{-n\lambda,\zeta}$ と見なすことができる.

2つの $ \mathop{\mathfrak {su}}\nolimits (1,1)-\lambda$ coherent 状態 $ \rho_{-\lambda,0},\rho_{-\lambda,\zeta}$ 間の 種々の量は以下のように計算できる.

$\displaystyle d_b( \rho_{-\lambda,0} \Vert\rho_{-\lambda,\zeta} )$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2( 1- ( 1- \vert\zeta\vert^2)^{\frac{\lambda}{2}}), \quad
A( \rho...
...ambda,0} \Vert\rho_{-\lambda,\zeta} )=
-4 \lambda \log ( 1- \vert\zeta\vert^2),$  
$\displaystyle F ( \rho_{-\lambda,0} \Vert\rho_{-\lambda,\zeta} )$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ( 1- \vert\zeta\vert^2)^\lambda, \quad
d_r^2(\rho_{-\lambda,0} \V...
...} )=
\lambda\left( \log \frac{1+ \vert\zeta\vert}{1-\vert\zeta\vert}\right) ^2.$  

なお, $ \lambda=\frac{1}{2}$ のときの, $ \mathop{\mathfrak {su}}\nolimits (1,1)-\frac{1}{2}$ coherent 状態は量子光学で重要な役割を果たす スクイズド状態と一致する[15]. また, $ \lambda$ が整数であるときには, $ \mathop{\mathfrak {su}}\nolimits (1,1)$ 代数の skew adjoint 表現から % latex2html id marker 3577
$ \mathop{\rm SU}\nolimits (1,1)$ 群のユニタリ表現が 構成できるが, それ以外のときは % latex2html id marker 3579
$ \mathop{\rm SU}\nolimits (1,1)$ 群のユニタリ表現は存在しない. その普遍被覆群 % latex2html id marker 3581
$ \widehat{\mathop{\rm SU}\nolimits (1,1)}$ の表現がある. $ \lambda$ が半整数であれば, その2重被覆群 % latex2html id marker 3585
$ \widetilde{\mathop{\rm SU}\nolimits (1,1)}$ の表現が構成できる.


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Masahito Hayashi 平成13年7月10日