spin $\frac{1}{2}$ coherent 状態と spin $\frac{j}{2}$ coherent 状態

２次元複素ベクトル空間上の純粋状態を spin $\frac{1}{2}$ coherent 状態 とよび,これらは以下のようにパラメトライズできる. $\frac{}{2}$ を省略した記号を用いる.

$${\cal S}_{1} := \left\{\left. \rho_{1,\theta,\phi}:= \left( \... ... \left[0, \frac{\pi}{2} \right), \phi \in [ 0, 2 \pi) \right\}.$$

２つの spin $\frac{1}{2}$ coherent 状態 $\rho_{1,0,0},\rho_{1,\theta,\phi}$ の 種々の量はは以下のように計算できる.

$$d_b^2( \rho_{1,0,0}\Vert\rho_{1,\theta,\phi})= 2( 1- \cos \theta ... ...og \cos \theta, \quad d_r^2(\rho_{1,0,0}\Vert\rho_{1,\theta,\phi})= 4 \theta^2.$$

次に,同じ spin $\frac{1}{2}$ coherent 状態 $\rho_{1,\theta,\phi}$ に置かれた $j$ 個の系からなる合成系を考える. するとパラメータの値 $\theta,\phi$ の如何に関わらず, 本来テンソル積空間である合成系の次元は $2^{j}$ であるが, テンソル積状態 $(\rho_{1,\theta,\phi})^{\otimes j}= \vert \theta,\phi \rangle^{\otimes j} ~^{j \otimes}\langle \theta,\phi \vert$ に対応するベクトル $\vert \theta,\phi \rangle^{\otimes j}$は その部分空間である対称テンソル積空間 $\mathbb {C}^{j+1}$ に含まれる. したがって,各テンソル積状態 $\rho_{1,\theta,\phi}^{\otimes j}$ は $j$ 次の対称テンソル積空間 $\mathbb {C}^{j+1}$ の純粋状態と見なすことが可能である. 以下 $\rho_{j,\theta,\phi}:=(\rho_{1,\theta,\phi})^{\otimes j}$ を spin $\frac{j}{2}$ coherent 状態とよび, それらからなる状態族を spin $\frac{j}{2}$ coherent 状態族とよび ${\cal S}_j$ と記す.

２つの spin $\frac{j}{2}$ coherent 状態 $\rho_{j,0,0},\rho_{j,\theta,\phi}$ の 種々の量はは以下のように計算できる.

$$d_b^2( \rho_{j,0,0}\Vert\rho_{j,\theta,\phi})= 2( 1- \cos^j \thet... ... \cos \theta, \quad d_r^2(\rho_{j,0,0}\Vert\rho_{j,\theta,\phi})= 4 j \theta^2.$$

なお,spin $\frac{1}{2}$ coherent 状態族は以下の意味で自然な $\mathop{\rm SU}\nolimits (2)$ 群の作用に 関して閉じている. 任意の $g \in \mathop{\rm SU}\nolimits (2)$ 及び spin $\frac{1}{2}$ coherent 状態 $\rho_{1,\theta,\phi}$ に対して 状態 $g \rho_{1,\theta,\phi}g^*$ もまた spin $\frac{1}{2}$ coherent 状態になる. $(g \rho_{1,\theta,\phi}g^*)^{\otimes j}= (g^{\otimes j} (\rho_{1,\theta,\phi})^{\otimes j} (g^{\otimes j})^*)$ となることから, spin $\frac{j}{2}$ coherent 状態族もまた, $j$ 次の対称テンソル積空間 $\mathbb {C}^{j+1}$ への $\mathop{\rm SU}\nolimits (2)$ 群の表現 $g \mapsto g^{\otimes n}$ から導かれる作用の下で閉じている. これらの coherent 状態族への作用は推移的である. （一点の群の作用による軌道が状態族全体になる.）