組織委員：杉本充 菱田俊明 加藤淳 寺澤祐高
世話人：藤原和将
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2022 年度
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4月11日（月）
講師：杉本 充 氏 (名古屋大学 多元数理科学研究科)
題目：A constructive approach to nonlinear wave equations
In this talk, a new attempt to construct solutions to nonlinear wave equations will be explained. The existence of self-similar solutions to semilinear wave equations with power nonlinearity has been already established by Pecher (2000), Kato-Ozawa (2003), etc. based on the standard fixed point theorem. We will rediscuss it by a constructive approach using the theory of hypergeometric differential equations. The same approach to damped wave equations will be also discussed.
4月25日（月）
講師：東條 理 氏 (名古屋大学 多元数理科学研究科 D3)
題目：Small energy scattering for the generalized Zakharov system with radial symmetry
In this talk, scattering for the generalized Zakharov system on the assumption of small energy and radial symmetry will be explained. Our method is based on normal form reduction and radial improved Strichartz estimates, which is used by Guo and Nakanishi (2013) for the Zakharov system. We also show that the solution to the reducted system actually satisfies the original system.
5月9日（月）
講師：加藤 淳 氏 (名古屋大学 多元数理科学研究科)
題目：On asymptotic behavior of the solution to the Cauchy problem for the wave-Schrödinger type system
Schrödinger 方程式と波動方程式の連立系の初期値問題の時間大域解の漸近挙動について考察する. 典型例である Zakharov 方程式に関しては, 空間 3 次元の場合に小さな初期値に対し 漸近自由であることが Hani-Pusateri-Shatah (2013), Guo-Lee-Nakanishi-Wang (2014) により示されている. 一方で, 非線形の相互作用が湯川型などの場合は漸近自由でないことが終値問題の結果から予想されている. この講演では, そのような場合に初期値問題の枠組みで解の漸近形がどのように定まるかを中心にお話しする.
5月23日（月）
講師：梶原 直人 氏 (岐阜大学 工学部)
題目：Maximal regularity for the Stokes equations in the half space
It is known that resolvent esimates and maximal regularity are important topics for linear parabolic evolution equations. We prove these estimates for the Stokes equations with various boundary conditions in a unite way. The method is applied for Dirichlet, Neumann and Robin boundary although the seminar is presented only main ideas. The basis is to obtain a suitable form of the solution. Then we use a useful sufficient condition to use Fourier multiplier theorem and $L_q$-boundedness in the half space. Since the symbols are R-bounded for $\lambda$, we can get maximal regularity at the same time.
6月6日（月）
講師：剱持智也 氏 (名古屋大学 工学研究科)
題目：Stokes 作用素の有限要素近似に対する $L^p$ リゾルベント評価
有限要素法とは偏微分方程式に対する Galerkin 法に基づく数値計算手法であり, この手法に基づいて, Stokes 作用素の離散版を考えることができる. この離散 Stokes 作用素に対して, リゾルベント評価や半群の評価を得ることができれば, Navier-Stokes 方程式に対する有限要素法の誤差評価などの解析に役立つと期待される. しかしながら, 離散 Stokes 作用素に対する $L^2$ ノルムによるリゾルベント評価は知られていたものの, $L^p$ ノルムによる評価はこれまで知られていなかった. 最近, $2$ 以外の $p$ に対して $L^p$ リゾルベント評価を示すことができたため, その成果について報告する. 発表においては, 導入として有限要素法の誤差評価手法を解説し, 有限要素法の $L^p$ 評価の難しさなどを説明する. その後, 主結果の証明のアイデアを述べる.
6月20日（月）
講師：寺澤 祐高 氏 (名古屋大学 多元数理科学研究科)
題目：Convergence of a nonlocal to a local diffuse interface model for two-phase flow with unmatched densities
We prove convergence of suitable subsequences of weak solutions of a diffuse interface model for the two-phase flow of incompressible fluids with different densities with a nonlocal Cahn-Hilliard equation to weak solutions of the corresponding system with a standard "local" Cahn-Hilliard equation. The analysis is done in the case of a sufficiently smooth bounded domain with no-slip boundary condition for the velocity and Neumann boundary conditions for the Cahn-Hilliard equation. The proof is based on the corresponding result in the case of a single Cahn-Hilliard equation and compactness arguments used in the proof of existence of weak solutions for the diffuse interface model. This talk is based on a recent joint work with Helmut Abels (Regensburg Univ., Germany).
6月27日（月）
講師：中村 昌平 氏 (大阪大学 理学研究科)
題目：An improvement of Nelson's hypercontractivity inequality
This talk is based on the joint work with Neal Bez (Saitama University) and Hiroshi Tsuji (Osaka University). We report our recent investigation on Nelson's gaussian hypercontractivity inequality which represents the regularising property of the Ornstein-Uhlenbeck semigroup in terms of its $L^{p}$-$L^{q}$ boundedness. While the sharp constant and extremisers of the inequality (both of forward and reverse cases) had been identified by the work due to Nelson, Borell, and Ledoux, we observe that the semi-log-convexity and semi-log-concavity of input function bring about an improvement of the hypercontractivity. An underlying idea of our results is Lieb's fundamental theorem on the theory of Brascamp-Lieb inequality; a phenomenon for gaussians turns up in general. As a consequence, we derive deficit estimates of the logarithmic Sobolev inequality and Talagrand's inequality both of which are closely related to recent works by Eldan-Lehec-Shenfeld and Mikulincer. If the time permitting, we further report a new link between our investigation on the hypercontractivity and some geometric inequality.
[学位審査セミナー ] 8月1日（月） 13:30〜14:30
講師：鈴木 聡一郎 氏 (名古屋大学 多元数理科学研究科)
題目：On a generalization of the Hörmander condition in the Calderón-Zygmund theory of singular integral operators
会場：多元数理科学棟 309号室
10月3日（月）
講師：高橋 知希 氏 (名古屋大学 多元数理科学研究科)
題目：Anisotropically weighted $L^q$-$L^r$ estimates of the Oseen semigroup in exterior domains, with applications to the Navier-Stokes flow past a rigid body
We consider the spatial-temporal behavior of the Navier-Stokes flow past a rigid body in $\mathbb{R}^3$. This talk develops analysis in Lebesgue spaces with anisotropic weights $(1+|x|)^\alpha(1+|x|-x_1)^\beta$, which naturally arise in the asymptotic structure of fluid when the translational velocity of the body is parallel to the $x_1$-direction. We first derive anisotropically weighted $L^q$-$L^r$ estimates for the Oseen semigroup in exterior domains. As applications of those estimates, we study the stability/attainability of the Navier-Stokes flow in anisotropically weighted $L^q$ spaces to capture the spatial-temporal behavior of nonstationary solutions.
10月17日（月）
講師：藤原 和将 氏 (名古屋大学 多元数理科学研究科)
題目：A lifespan estimate for classical damped wave equations with some initial data
In this talk, we consider the lifespan estimate for semilinear classical damped wave equations under the initial condition where initial position and velocity cancel out. In this initial condition, the critical exponents for global existence is still unknown and we give a rough estimate of lifespan to investigate the critical exponents with a simple ODE argument.
10月31日（月）
講師：加藤 勲 氏 (京都大学 理学研究科)
題目：On the ill-posedness for the half wave Schrödinger equation
本講演では, half wave Schrödinger 方程式の初期値問題を考える. Xu (2017) により斥力的3次非線型項のときの解の漸近挙動が考察されたのを機に, 集約的で小さい冪指数をもつ場合の定在波解の存在や安定性などが Bahri-Ibrahim-Kikuchi (2021) により示されている． また初期値問題の適切性に関しては, Bahri らによるエネルギー劣臨界空間での時間局所適切性が知られているが, 非適切性に関する結果は知られていない. そこで本講演では, Christ-Colliander-Tao（2003）の方法に基づき, 尺度優臨界空間における非適切性を述べる. また, 集約的で冪指数が小さいときの尺度臨界空間, 尺度劣臨界空間での非適切性についても言及する.
[集中講義 ] 11月14日〜11月18日
講師：側島 基宏 氏 (東京理科大学 理工学研究科)
題目：空間変数に依存する摩擦項を持つ波動方程式とその周辺
様々な現象を記述する際に偏微分方程式が用いられる. この授業では, 消散型波動方程式を中心に種々の半線形偏微分方程式の初期値問題について解説する.
1. 偏微分方程式を扱うための基礎事項
2. さまざまな半線形偏微分方程式の解法について
3. 特殊な構造を持つ消散型波動方程式について
11月28日（月）
講師：北野 修平 氏 (早稲田大学 理工学術院)
題目：Carderón-Zygmund type estimates for fully nonlinear integral equations
In this talk, several regularity results for viscosity solutions of fully nonlinear integral equations will be explained. For fully nonlinear second order partial differential equations, Caffarelli established three important regularity estimates: Schauder estimates, Cordes-Nirenberg, and Carderón-Zygmund in the 1980s. In the case of integral equations, the analogues of the first two estimates have been already proved by Serra (2015) and Caffarelli-Silvestre (2011) respectively, and the Carderón-Zygmund estimate for integral equations is our new result. The key is to analyze Riesz potentials of solutions for integral equations, which are also solutions of certain second order partial differential equations.
12月12日（月）
講師：谷口 晃一 氏 (東北大学 理学研究科)
題目：Boundedness of composition operators on one dimensional Besov spaces
We consider boundedness of composition operators on one dimensional Besov spaces. The boundedness has been studied when the order of smoothness is lower than one. In contrast, there is almost no result for the higher order case. In this talk we discuss the boundedness in the higher order case and give its necessary and sufficient conditions. In addition, we also mention its application to the transport equation. This talk is based on a joint work with I.~Ishikawa (Ehime Univ.) and M.~Ikeda (RIKEN/Keio Univ.).
12月19日（月）
講師：宇佐美 広介 氏 (岐阜大学 工学研究科)
題目：Asymptotic forms of solutions of second-order half-linear ordinary differential equations
2 階半分線形常微分方程式とは 2 階線形常微分方程式のある種の一般化である. (偏微分方程式等にもこの種の一般化がある.) このタイプの方程式の解に対してその定数倍はやはり解になる；しかし 2 解の和は一般に解にはならない. よって線形方程式の性質のいくつかは保たれているがいくつかは保たれていない. 本講演では摂動を受けた半分線形方程式の解の漸近挙動の導出を紹介する. このようなテーマに対しては線形方程式の場合には多くの研究成果が得られている. それらの証明ではほとんどの場合, 解集合の線形性や定数変化法 (デュアメルの原理) が本質的役割を担っている. しかし, 前述のようにこのような事柄は半分線形方程式に対しては一般には成立しない. そこで本研究では半分線形方程式に付随した一般化 Riccati 方程式を考察することによってこの問題を解析していく. なお，本講演の内容は内藤学氏 (愛媛大名誉教授)，及び Sokea Luey 氏 (National Institute of Education, Cambodia) との共同研究に基づいている.
[研究集会 ] 1月5日 (木) 〜 6日 (金)
「若手による流体力学の基礎方程式研究集会」
会場：多-509 号室
プログラム：PDF file
世話人：加藤淳 (名古屋大学), 鈴木政尋 (名古屋工業大学), 寺澤祐高 (名古屋大学), 三浦英之 (東京工業大学)
1月16日（月）
講師：駒田 洸一 氏 (中京大学)
題目：Scattering for the quantum modified nonlinear Schrödinger equation below the ground state
量子ザハロフ系から亜音速極限によって得られる4階の分散項を持つ非線形シュレディンガー方程式について空間10次元の場合を考える. ここで, 空間10次元はエネルギー臨界の場合に相当する. 本講演では, 基底状態よりエネルギーの低い球対称な初期値に対して解が散乱する最適な条件を与える. 証明は Kenig-Merle (2006) による凝集コンパクト性の議論を用いて行う. 非線形4階シュレディンガー方程式に対しては Pausader (2009) による類似の先行研究があるが, 本講演で取り扱う方程式は2階の分散項や非斉次な非線形項を含んでおりスケール不変性がないため, 新たに議論の修正が必要となる.
[学位審査セミナー ] 1月31日（月） 10:30〜11:30
講師：山本 涼介 氏 (名古屋大学 多元数理科学研究科)
題目：A sharp sparse domination of pseudodifferential operators
会場：Zoom
[学位審査セミナー ] 2月10日（月） 13:00〜14:30
講師：生駒 真 氏 (名古屋大学 多元数理科学研究科)
題目：Optimal constants of smoothing estimates for the 2D and massless 3D Dirac equation
(2 次元および質量 0 の 3 次元ディラック方程式の平滑化評価式の最良定数)
会場：A-207
[研究集会 ] 3月22日 (水) 〜 23日 (木)
「第14回 名古屋微分方程式研究集会」 (Web サイト)
会場：多-109 号室
プログラム：PDF file
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