名古屋微分方程式セミナー 2013年度

　In this talk we will review the recent work on the global quantization theory on compact Lie groups, and will present applications to partial differential equations and to harmonic analysis.

　本講演では, 周期境界条件下でKdV階層及び修正KdV階層の適切性を考える. これらの方程式は完全可積分であり豊富な構造を持つが, 線形部分に比べて非線形項に含まれる微分（微分の損失）が多いことが問題となり, 適切性に関する結果はない. 我々は, 非線形項における微分の損失を持つ共鳴部分が方程式の対称性及び保存則を用いた線形部分の修正により相殺されること, 及び非共鳴部分の微分の損失が normal form method により回復することを示し, これにより双方の方程式に対しある意味最良の結果が得た. なお本講演は名古屋大学の津川光太郎氏との共同研究の内容に基づくものである.

　切断近似をしないボルツマン方程式の衝突項はラプラス作用素の分数べきに喩えられ，方程式の解（気体粒子分布）が空間変数について一様で速度変数にのみ依存する場合は，熱方程式の様に解の平滑化が適当な条件のもとで起こることが知られている． しかしながら上述の比喩は必ずしも正確なものではない． 実際，ボルツマン方程式は非線形であり，初期値が１個のデルタ関数の場合, 解は時間不変なままである． Villani 予想は，初期値が１個のデルタ関数でなければ必ず解はすぐに滑らかになることを主張している．すなわち， 気体粒子の初期分布が異なる速度成分をもてば，粒子の衝突（相互作用）が起こり分布は直ちに滑らかになることを意味する． 本講演では衝突積分項がマクスウェル型という単純な場合に，このVillani予想が正しいことを示す． 講演内容は香港城市大学の Tong Yang 氏との共同研究による．

　本講演では1階の微分を含む2次の非線型項を持つシュレディンガー方程式の連立系の初期値問題について考える. 単独の方程式の場合には非線型項における可微分性の損失のため, 一般には通常のソボレフ空間 H ^s における適切性を導くことはできない. しかし, 連立系でラプラシアンの係数がある条件を満たす場合には可微分性の損失を回復することができ, ソボレフ空間における適切性が得られることを示す. 特に高次元の場合には, フーリエ制限ノルムを精密化した U ², V ² 型のノルムを用いることにより, スケール臨界なソボレフ空間における適切性が得られることを示す.

　We establish the global existence and uniqueness of classical solutions to the three-dimensional fully compressible Navier-Stokes-Fourier system with smooth initial data which are of small energy but possibly large oscillations where the initial density is allowed to vanish. Moreover, for the initial data, which may be discontinuous and contain vacuum states, we also obtain the global existence of weak solutions. These results generalize previous ones on classical and weak solutions for initial density being strictly away from vacuum, and are the first for global classical and weak solutions which may have large oscillations and can allow vacuum states.

　本講演では, 回転座標系における Coriolis 力の影響を考慮した非圧縮性 Euler 方程式および Navier-Stokes 方程式について考察する. Coriolis 力によって生成される発展作用素に対して, Strichartz 評価式の成立する最適な許容範囲を導出する. その応用として Euler 方程式の長時間可解性を考察し, 非粘性極限およびエネルギー法によって構成された時間局所解が, 回転速度が十分速い場合に, 任意の有限時刻を超えて延長可能であることを示す. 尚, 本講演は Seoul National University の Youngwoo Koh 氏と Sanghyuk Lee 氏との共同研究に基づくものである．

　本講演はべき型の非線形項をもつ非線形シュレディンガー方程式の初期値問題について考える. 解空間にルベーグ空間 L^p を用いて大域解の一意存在性を述べる場合，非線形項のべきの指数に上限が必要となる. しかし, 解空間にモジュレーション空間を用いればその上限を超えて大域解の一意存在性を述べることが出来る. しかし, この事実はシュレディンガー方程式のみでしか述べられていないため, より一般の非線形分散型方程式の初期値問題に対しても同様の効果が得られることを示す.

　本セミナーでは２階の発散形式の非斉次楕円型方程式系の解の部分正則性について考える. 解の部分正則性理論では Hölder 連続な係数を持つ楕円型方程式系の解は特異集合上を除いて解の偏導関数もHölder連続になることが知られている. 本セミナーでは, この係数の滑らかさの仮定を弱めていったときに解の滑らかさがどの程度保たれるのかについていくつかの結果を紹介し, VMO 係数を持つ楕円型方程式系の解は特異集合上を除いて Hölder 連続になることを示す.

　本講演では, ２次元以上の半空間において領域の内部では冪乗型の非線形項を持つ半線形楕円型方程式をみたし, 境界上で時間発展する問題の正値解について考察する. 方程式が Laplace 方程式で境界に非線形項が含まれている場合については Fourier 変換を用いる事で, 境界条件を分数冪の拡散方程式に変形する事ができ, 大域解の存在・非存在を分けるいわゆる藤田指数を得る事ができる. 一方, 本問題は方程式に非線形項を含んでいるため上記の方法を直接適用する事は難しい. 本講演では, 問題を時間発展する非斉次の境界条件を持つ Laplace 方程式と Dirichlet 境界条件を満たす非斉次楕円型方程式に分ける事により, 本問題の藤田指数を得るとともに, 小さい解に対する時間大域挙動について得られた結果を紹介する. なお, 本講演は Comenius 大学の Marek Fila 氏と東北大学の石毛和弘氏との共同研究に基づく.

　We consider the initial value problem for a three-component system of quadratic derivative nonlinear Schrödinger equaion with the masses satisfying a resonance relation. The aim of this talk is two-fold: The first is to introduce a structural condition on the nonlinearity under which the solution is asymptotically free in the large time if the initial data is sufficiently small in an appropriate weighted Sobolev space. The proof relies on the commuting vector field method combined with the smoothing effect. The second is to present an example of small data blow-up. Our construction of the blowing-up solution is based on the Hopf-Cole transformation which allows us to reduce the problem to getting suitable growth estimates for a solution to another system. The first part of this talk is a joint work with Masahiro Ikeda and Soichiro Katayama. The second part is in collaboration with Tohru Ozawa.

　In this talk, we will present recent results with M. D'Abbicco and S. Lucente for semi-linear damped wave models. We will distinguish between classical and structural damping. New strategies as higher order energies or non-classical energies basing on L^m, m ∈ [1,2) are presented. Some open problems complete the lecture.

　本講演では, 一方向に周期境界条件を課した2次元ユークリッド空間上のべき乗型非線形項 |u|^p-1u を持つシュレディンガー方程式 (NLS) の定在波の安定性について考える. 1次元ユークリッド空間上の (NLS) は ground state と呼ばれるエネルギー最小な定在波を持つ. この1次元の ground state を周期境界条件を課した方向に恒等的に拡張した関数は一方向に周期境界条件を課した2次元ユークリッド空間上の定在波となる. この定在波の安定性について, p=3 のときは Rousset-Tzvetkov により周期境界条件の周期が大きいとき不安定になることが示された. 指数 p が一般のときは非線形項が Fréchet の意味で滑らかでないため, 先行結果の手法が使えない. 今回の講演では p が一般の指数のときに定在波の安定性について示す.

　空間変数に依存する摩擦項を持つ線形消散型波動方程式を考える. 本講演では, 解の拡散現象, すなわち, 解が時間無限大において対応する熱方程式の解に漸近することを示す. 証明には, Todorova-Yordanov による重み付きエネルギー評価を, 高階の導関数にまで拡張したものを用いる.

　During this seminar, we shall investigate the spectral and the scattering theory at low energy for relativistic Schrödinger operators. First of all, some striking properties at thresholds of this operator will be exhibited, as for example the absence of 0-energy resonance. Low energy behavior of the wave operators and of the scattering operator will then be studied, and stationary expressions in terms of generalized eigenfunctions will be provided for the former operators. Under slightly stronger conditions on the perturbation the absolute continuity of the spectrum on the positive semi axis will be demonstrated. During these investigations, the role of the dilations group will be emphasized.

　The purpose of this talk is to investigate decay orders of the L² energy of solutions to the incompressible homogeneous Navier-Stokes equations on the whole spaces by the aid of the theory of weighted Hardy spaces. The main estimates are two weighted inequalities for heat semigroup on weighted Hardy spaces and a weighted version of the div-curl lemma due to Coifman-Lions-Meyer-Semmes. It turns out that because of the use of weighted Hardy spaces, our decay orders of the energy can be close to the critical one of Wiegner.

　本講義では弾性波動方程式がどのような方程式かを知り, その方程式の解がどの様な性質を有しているかを学ぶ. 更に, 漸近挙動を調べる際に有効となる"非線型近似による摂動論"の触りについて紹介する. 具体的な講義の予定は次の通りである.
　第一回　本講義の全体的な内容を概観し, 弾性波動方程式の導出や物理的背景などを説明する.
　第二回　弾性体の変形が小さい場合に得られる線型化方程式について, 解の表示や有限伝播性などの性質を学ぶ.
　第三回　線型化方程式の解の定量的な性質, 特にエネルギー評価と時間減衰評価について解説する.
　第四回　弾性体の変形が小さくとも非線型項の構造によっては特異性が生じたり, 逆に大域的に解が存在したりする. その様な構造に幾何学的な特徴付けを与える.
　第五回　非線型弾性波動方程式の解の漸近挙動を解析する方法を解説する.

　非線型シュレディンガー方程式の解の解析性について考察する. 指数関数的に減衰する初期値に対してガリレイ変換の生成作用素を用いた, シュレディンガー方程式の解の解析性はこれまでも多くの論文で研究されて来ており実解析的で解析接続を持つ解が構成できることは良く知られている. 本講演では, そもそもどの様な関数空間に解を構成すれば解の解析性が得られ, どの様な意味で解析的になるのかを再検討しなるべく条件を弱くする事に努めて従来よりも広い関数空間において初期値問題を考える. 解の構成に関しては小さな初期値に対する時間大域解の方法を用いる. なお本講演の内容は早稲田大学小澤徹先生との共同研究に基づくものである.

　さまざまな自然現象に対する微分方程式を用いた数理モデルが数多く提唱され, その数学解析（現象解析）の研究は膨大である. 本講義では, 特に, 数理生態学, 相分離現象, 量子物理現象の数理モデルなどに現れるいくつかの非線形偏微分方程式（系）を対象とし, その時間定常な状態を記述する非線形楕円型偏微分方程式（系）の解の定性的な形状に関する話題を紹介する. 時間発展現象の理解にも定常解の構造の理解は重要な話題の１つであるが, それぞれ個々の現象に応じ特徴的な定常解の形状（パターン）があって, 定常解に限っても（方程式が単純であっても, 時に驚くほど）豊富な解構造を持つ場合もあり興味深い問題が数多く存在する. 講義では, 適宜, 関数解析, 変分法, 線形楕円型偏微分方程式の理論（最大値原理, 固有値問題, 種々の解の評価）などに関する知識を準備, 活用しながら, 解の凝集・相分離現象などの特徴的な形状（特に特異極限下での漸近的形状）に関する数学解析のいくつかを紹介したい. 　

　We discuss the existence of the blow-up solution for multi-component parabolic-elliptic drift-diffusion model in two space dimensions. We show that the local existence, uniqueness and wellposedness of a solution in the weighted L² spaces. Moreover we prove that if the initial data satisfies a threshold condition, the corresponding solution blows up in a finite time.

　Coriolis 力の入った非圧縮性 Navier-Stokes 方程式について考察する. 初期値 u₀ が s > 5/2, u₀ ∈H ^s(R³), divu₀=0 を満たし, さらに Z. Lei と F. Lin (2011) により導入された空間 χ⁻¹ における初期値のノルムが粘性係数 μ より小さいとき, 方程式の時間大域解が回転速度 Ω に依らずに存在することを示す. 更に, 解の χ⁻¹ ノルムが時間遠方で減衰していることを示す. 証明には Z. Lei, F. Lin が示したものと同じ型の解のアプリオリ評価を用いる.