教科書とシラバス
- 教科書：斎藤毅「集合と位相」東京大学出版会 2009
- シラバス
講義の記録
10月7日にやったこと
- 実数と連続函数の復習
- 実数の連続性（有界かつ単調増大な数列は収束する．）
- $\epsilon$-$\delta$式の連続函数の定義
- 中間値の定理
- 最大値の定理
- 位相の開集合系による定義
- 連続写像の定義
- 同相写像の定義
- 恒等写像は連続写像であり，連続写像の合成は連続写像である．
- 密着位相・離散位相
- 一次元Euclid空間$\mathbb{R}$の開集合系の定義
- 後半は演習
- 三点集合の開集合系の枚挙
- Sierpinski位相
- included point topology
- excluded point topology
- 補有限位相
- Fort位相
10月21日にやったこと
- 一次元Euclid空間$\mathbb{R}$の開集合系の定義がwell-definedであること
- $\mathbb{R}$から$\mathbb{R}$への写像に対して，$\epsilon$-$\delta$式の連続性の定義と開集合系による連続性の定義は一致すること
- 位相の強弱
- 位相の生成
- 基底の定義
- 連続写像と基底
10月28日にやったこと
- 被覆
- 開近傍・近傍
- 閉集合
- 素数が無限にあることのFurstenbergによる証明
11月11日にやったこと
- 内点・内部・外部・境界・閉包・触点
- 集積点・孤立点・導集合
11月18日にやったこと
11月25日にやったこと
12月2日にやったこと
- 連結性と弧状連結性の定義
- 中間値の定理
- 連結空間の部分空間
- 連結空間の商空間
12月9日にやったこと
- 連結空間の積空間
- コンパクト性の定義
- 最大値の定理
- Heine-Borelの定理
12月16日にやったこと
- コンパクト空間の部分空間
- コンパクト空間の商空間
- チューブ補題
- コンパクト空間の積空間
- Hausdorff性の定義
- 距離空間はHausdorffであること
12月23日にやったこと
- Hausdorff空間と対角集合
- 一致の定理
- Hausdorff空間の部分空間
- Hausdorff空間の積空間
- Hausdorff空間の商空間であってHausdorff空間ではないものの例
1月20日にやったこと
1月27日にやったこと
- コンパクトHausdorff空間
- コンパクト空間からHausdorff空間への連続写像の像は閉集合である．
- Hausdorff空間のコンパクト部分集合は閉集合である．
- コンパクト空間からHausdorff空間への全単射連続写像は同相写像である．
- 完備距離空間
- 完備性の定義
- 縮小写像の原理
- Baireのカテゴリー定理
2月3日にやったこと