UCLAセミナー

ＵＣＬＡ応用数学セミナー (Applied Math Colloquium)

毎週火曜日ＵＣＬＡ数学教室ＭＳ６６２７にて夕方４時から行われています。ＵＣＬＡにはアメリカ国内からだけでなく海外からのお客さんも頻繁に来られますので、毎回いろいろな研究者の研究の話が聞けます。内容も数学理論から現象の数値計算まで幅広く、私にはたいへんな刺激になります。以下はそのセミナーのタイトル、スピーカーの一覧と私のコメントです。私の英語力の未熟(鋭意改善中)なのに加え、専門外の内容の場合、理解できない部分も多いので、コメントは空くまでも感想程度のものなので内容の理解不足、誤りについては御容赦下さい。

Date Title Speaker Comments

11/7/00 Reversibility and level set M. Petersen (Georgia Tech. Univ.) Molecular Beam Epitaxyの数値研究。分子を薄膜の上に落して、それがどのように積み上がるかを研究する。コンピュータのチップの開発や最近アメリカでお金になるとされているナノテクノロジーの基礎づけとなる分野。Caflisch教授も現在はこの分野を研究している。講演の内容はMBEにおいて分子が一つの島構造(Island)を作るのだが、その界面時間発展をLevel Set法を基にした数値計算で研究したものである。LevelSet法をと確率的な方程式をKinetic Monte CalroシミュレーションのHybridさせて時間可逆(Reversible)なIslandの生成消滅の時間発展の様子を計算したというもの。

11/14/00 A polulation density approach that faciliates large-scale modeling of nueral network D.Q. Nykamp 脳のニューロンネットワークの話。ほとんどわからなかったが、感じとしては脳のニューロンのシミュレーションをするのに、ニューロンネットワークをいくつかに分割して、それを組み合わせて脳全体をモデル化しようという話だったように思う。

11/21/00 Shocks and viscosity solutions Y. Giga (Hokkaido Univ.) 儀我先生がＵＣＬＡに来られた。話の内容は一階の双曲型方程式のCauchy問題の解を人工的な粘性項を付け加えた正則化方程式の解による近似理論で研究するというものである。一般にこうした双曲型方程式にはショック不連続性を持つ解が発生することが知られているので、そのような不連続性が生成した後の解をどう記述するかが問題になる。空間微分に依存する項が保存則で与えられる時は entropy solutionという概念の枠組でその解はもとの双曲型の方程式の解に L^1収束することが知られているが、保存則で与えられない場合には粘性解の理論による結果が知られているが、MBEの運動を記述するような場合(ある種の単調性がなりたたない場合)にはこの粘性解の方法はうまくいかない。そこで、subgraph solutionという拡張概念を導入してその場合にショック形成後の解を近似することができるということを数学的に厳密に示したという内容であった。過去２回に比べて、内容が実にしっかりしていたので聴衆の反応がかなりよかったのが印象的だった。本来ならば儀我先生をおもてなししなければならないのに、その夜は夫婦で先生にごちそうになってしまった。儀我先生ありがとうございました。

11/28/00 Nonlinear schrodinger equations as models of siperfluidity N. Berloff (UCLA) 極低温液体ヘリウムの超流動運動のモデル解析を数値計算と特異展開によって研究したもの。この運動はGPモデルと呼ばれる非線形シュレーディンガー方程式と連続の方程式、それにベルぬー意の方程式の組合せによって記述されるが、これまでの解析では実験から知られている分散関係をうまく近似していなかったのでうまく方程式を改良(一般化)してうまく近似したと言う話。具体的には球の周りのイオンの作る流れを数値計算し、そこから発生する渦輪の様子、境界との相互作用などを可視化して見せていた。私にとっては非常に面白い内容だった。

12/05/00 Difference schemes for conservation laws with a dicontinuous fux J. Towers (CTSNET) 一次元双曲型の偏微分方程式の数値解法に関する研究。空間部分が保存則で与えられない時の差分スキームの評価をしていた。スキームはStaggerd mesh schemeと名付けられていたが、要するに中間の値をうまく使って空間微分の項を評価しようというアイデアのようであった。その中間値はsingular mapping とよばれる写像を定義して計算する。このアイデアで２次のスキームが構成されたと言うのが結論。以上が私が聞き取れた内容である。OHPを出し入れするスピードが高速すぎて、私のような一見初学者にはよくわからなかったろころも多いので、このコメントは嘘を含んでいるかもしれない。

12/12/00 On a motion of a two-dimensional vortex sheet and a double branched spiral T. Sakajo ( Nagoya Univ.) ２次元渦層の運動を記述するBirkhoff-Rott方程式を正則化した方程式の解が爆発する時間を調べた。本来、正則化が行われているためにこの解は爆発しないことが知られているが、時間変数を複素数に拡張すると、複素時間平面の中に解の爆発する時間が存在する。このような時間を複素特異時間と呼ぶことにする。Sulem, Sulem, Frischらの方法とMooreによる漸近解析の結果に基づき数値的にその時刻を検出した。その複素特異時間の分布の特徴と振舞の様子を考察し、Birkhoff-Rott方程式の解が有限時間で爆発するのに正則化方程式の解がいつまでも滑らかであると言う事実の説明に成功した。さらに、正則化された２次元渦層のスパイラルの巻上がり解を近似する、あるモデルを提案し、その数学解析と渦層との比較を通じて、このモデルがある時刻以降の渦層の解をよく近似し、さらに数値的に得られた渦層運動の複素特異時間構造をよく説明していることを示した。また、いくつかのモデルと渦層の諸量の比較を通じて、Birkhoff-Rott方程式の特異点発生後の解としてこのスパイラル解を認めることができるのではないかとのconjectureを得た。

1/16/01 Ridgelets and Neural Networks E. Cande (Cal. Tech.) タイトルを見た時、脳科学の話だと思ったが、聞いて見ると関数近似の話であった。Ridge 関数と呼ばれるある種の関数群(その関数の一例としてニューラルネットワークのシナプスの作用を近似するsigmoid関数が含まれるので、そう呼んでいるのだが)の線形結合で近似するというもの。その基底関数としてはこのRidge関数をshiftしたものと拡大縮小したもの、これをWaveletsのアナロジーからRidgeltesと呼ぶらしいが、を用いる。係数はおなじみのRidgeletsと関数との積分によって定めるというもの。この分解作用素はL＾２ノルムを保存する等長作用素(まあ、これは当然の結果であろうが)であることと、不連続関数の近似において、Waveletsよりよい近似オーダーを持っていることが特徴。いくつかの計算例を見た。が、話が長すぎたために、最後は聴衆の方が疲れていたようである。

1/23/01 Superconsistency discretization D. Funaro (Univ. Modena, Italy) 与えられた作用素Ｌを離散化した離散作用素L_dを与える場合そのconsistencyが問題になるが、今回の話では|L(v)-L_d(v)|を exactに０にするように離散点を選んで、少ない離散点でも安定に計算ができるようにするというアイデアを幾つかの例とともに解説した。一次元の場合はLegendre多項式の０点を使うのがよく、２次元の場合はそれらの０点に加え、いくつかの点を領域内に選んでやればうまくいくということだったが、英語が聞き取りにくいので詳細まではわからなかった。しかし、結果を見る限り、なかなか有望そうなメソッドではある。一度調べて見る必要性あり。

1/30/01 On discontinuous solutions of Hamilton-Jacobi equations Bo Su (Univ. Wisconsin-Madison, USA) Hamilton-Jacobi方程式の解の定義を石井先生のSemi-continuous solution を拡張することで、L^\infty解までの解のクラスを考えて、そのような解が存在することをPeronの方法によって示す。という話だった。最初にこの方程式の研究の歴史についてのレビューがあったので、勉強になった。が、彼の喋りはぼそぼそとしていて、板書も落書のような程度だったので、内容を理解するのに苦労した。

2/6/01 Active shielding and control of environmental noise S. Tsynkov (North Carolina Univ. and Tel Aviv Univ.) 与えられた空間の中で発生するノイズ除去をHelmholtz作用素のグリーン関数などをうまく使うことで最適なノイズ除去関数を導入して行うというもの。想定している応用は掃除機のノイズを外へ出さないようにすること、あるいは携帯電話が拾う環境ノイズを除去することにあるという。ノイズを消すには勿論、ノイズを打ち消すような波動をつくればいいわけだが、それを計算するのはたいへんなので、あるコスト関数を導入して、その関数が最小になるようなノイズ除去関数を見付けようというアイデアだと私は理解した。このノイズ除去関数が厳密に計算できる簡単な領域形状の場合について、このアイデアがどのようにノイズを除去しているかを見せてくれた。本格的な応用はこれからとのこと。しかし、環境ノイズのように時間変調するような場合に応用ができるのだろうかと言われれば、少し難しいようにも思う。

2/13/01 First-Order system least squares and its dual for partial differential equations Z. Cai (Purdue Univ., visiting UCLA) First Order System Least Squares (FOSLS)と呼ばれる高階楕円型方程式の変分問題定式化における、そのエネルギー最小値を与える関数を求めるアルゴリズムについて解説し、その最小値を与える関数空間を性質のよいものにするための工夫として、線形作用素のDualを考えて、その上で最小関数を求めるという方法を紹介。また、そのいくつかの応用例について発表があった。高階の楕円型作用素 (セミナーでは具体的に２階の楕円型方程式を出していたが) を１階の楕円型方程式のシステムへと人工的に変更し、その上でのエネルギー関数を考え、適当な関数空間から最小値をみつけるという問題に再定式化する。この定式化によって、方程式は overdeterminedな系となってしまうので、境界条件や、補助的な方程式を導入して適当な関数空間からそのエネルギー関数を最小化するものを最小二乗法で見付けるというもの。

2/27/01 Stochastic perturbations uniqueness and selection principles of motion by mean curvature A. Yip (Purdue Univ., visiting IPAM of UCLA) 平面の平均曲率流の問題において、解の一意性などが保証されない初期状態から始めた時に解がどの最終状態に近付くかという問題を考えている。講演者は曲率方程式にランダムなノイズ項を付け加えた確率平均曲率流による定式化を行って、そのノイズ項の影響を０に近付けた時の解の振舞に付いて、幾つかの結果を紹介した。結果は二つの円が一点で接している状態から始めた場合で、かつノイズがブラウン運動的、つまりホワイトノイズの場合の確率平均曲率流に限定されてはいたが、平均曲率＋ノイズの場合、ほとんど確実(almost surely) に二つの円は一つの円にくっついて運動をするということを示した。また、平均曲率＋ある外力＋ノイズの場合、５０％の確率で一つの円に、５０％の確率で二つの離れた円になることを示した。一意性が保証されないような物理問題において、ノイズの効果が解の選択に役割を果たしていることがよくわかった。

3/6/01 Degenerate parabolic euations; entropy solution theory, numerics and applications K. Karlsen (IPAM of UCLA) 退化放物型の方程式のエントロピー解の定義とその存在と一意性についての話。あと数値計算するときの収束定理とそのオーダーに付いての話があった。ＯＨＰが多すぎて、私のような背景をあまり知らない素人には理解しにくかったように思う。

3/20/01 Vortex shedding from a torsionally oscillating sphere R. Hollerbach (Glasglow Univ and Princeton Univ.) 久しぶりの流体の話である。糸の先に球をつけて剛体回転させると、その表面での粘性の効果により、表面流ができる。その表面流は極から表面を這うように平行に進み、そして赤道付近から外に向けてジェット流のように吹き出して行く。このジェット流れは、球の回転が強くなると、不安定化しレイノルズ数２００付近でマッシュルーム状の渦構造を作る。さらに回転数を上げると渦の剥離が赤道以外のところからも起こり(この段階でもある種の対称性は失われていない。)、そして最終的には乱流状態になる。この実験の結果とそれを数値的に調べて、流れによる流体粒子の運動などをシミュレートして詳しいメカニズムの説明を行おうとしている。現象そのものはたいへんおもしろいと思った。うまくこの話を発展させれば土星の周りの輪っかがどうして赤道の上だけに出来るのかが説明できそうな気がする(既に説明されているのか？)。惑星科学の本を読んで見て、この仮説を検証する価値はある。

4/10/01 A common level set framework for active contours and Mumford-shah sengmentation in image processing L. Vese (UCLA) 与えられた画像の輪郭を取り出すという操作を行うアルゴリズムとして edge関数と呼ばれる境界で０、その他の領域で正の定数になるものを選んで大きな閉曲線を初期曲線として、それを縮めて行き、ある点でedge関数が０になったらその点を縮めるのをやめるというステップを繰り返して最後にその閉曲線の長さと内側の面積を最小にするようなものを求めるというものがある。これをactive contour with edgesというが、これは与えられた画像の境界がはっきりしていない場合や内部に境界があるような画像(例えばドーナツのような形)そして、ノイズが入ったようなものにはあまり有効でない。そこで Level Set methodを援用して、レベルセットが平均曲率流で縮む過程で、あるエネルギー関数が最小になるようなものを選び出すというアルゴリズムを開発し上記の古典的な方法がうまく動作しない場合にでもかなり強固に働くことを例とともに紹介された。アイデアもおもしろいし、複雑な物体の境界を (例えば脳の画像解析など)捉えるのにはたいへん有効に思える。３次元の物体を定義するのにポリゴンではなくレベルセットの０境界として定義するというやり方は、トポロジーの変化にフレキシブルに対応できるので、応用の上でも重要かと思える。Level Set methodという言葉は平均曲率流の数値計算で使うと言う話は知っていたが、ここまでくると思想の領域に近い。

その他のセミナー

ＵＣＬＡでは不定期に様々な面白いセミナーが開催されます。応用数学を専門にしている人は、アメリカに多いです。

Date Seminar Title Speaker Comments

11/13/00 Perspective in Mathematical Physics Inverse Problerms on Mathematical Physics 記録忘れるこのセミナーは様々な分野の専門家を呼んで、これまでの研究の歴史と、その概説、それに未解決問題などを詳しく解説するためのもので、日本で言えば集中講義のようなもの。といっても講演時間は一時間なので、かなりコンパクトにまとめられないと、話がまとまらない。話者の能力が問われる。今回の話はタイトルの通り逆問題の講義だった。一般論をこまかくやるのではなく、Electric Impedance Tomography, Inverse Scattering Problem in quantum mechanics, Inverse Problem of reflection seismologyの具体的な応用を説明して、逆問題とは何か、そして何がわかっていて、何がわかっていないかを丁寧に解説するというスタイルであった。たいへんわかりやすくてよかった。

1/26/00 Special Applied Math Colloquium Computational models and results for martensitic thin films M. Luskin (Univ. Minnesota) 非常に薄い結晶膜の温度による相変化に伴う、運動の様子を、運動の表面エネルギーなどのエネルギー関数の最小化問題として数値計算して、それが現実の現象をよく説明している事を解説したもの。最近アメリカではマイクロマシーンに関する数理的研究が盛んである。この研究も同様である。与えられたエネルギーはダブルウェルポテンシャルになっているようで、その二つの０点をどのようにして求めるかを議論していた。

2/8/00 Mathematics Colloquium Deforming a surface in the direction its mean curvature vector Mu-Tao Wang 平均曲率に従って曲面が時間発展する問題に関する話。余次元１の曲線に対するこの手の問題はよく話を聞いて知っているのだが、今回の話は余次元がそれより大きい場合の研究である。これに対して、写像のヤコビアンが１以下の場合、平均曲率流は定常流に近付くという定理を話者は示した。証明はその場で聞いても私にはわかるものではなかった。確かに余次元(自由度)が増えれば、一点に縮小せずに定常な流れに近付くようなものがあるのは容易に予想できる。また、本質的にどういう現象を念頭においてなされている研究かはわからなかった。私が聞き逃しただけかもしれないが、いずれにせよ数学コロキウムでの講演だから、別に数学的な興味だけでいいのかもしれない。(本当はよくないかもしれないが。)

5/9/01 IPAM Geometric Based Motion Theory and Modeling for Turbulent Reactive Fronts A.J. Majda A.J.Majda が来た。話しは巨視的スケールの平均流の中に乱れた流れの効果をいれたTurbulent Reaction-Diffusion方程式の簡単なモデルの導入とその数学解析と応用についての話であった。その数学理論の概要を前半でざっと説明し(詳細はPhysics of Fluids 314を参照の事)、後半はその応用として、このような乱れた流れの中における燃焼問題の解析と数値計算の例が示された。その計算結果はなかなか面白そうだったが確率微分方程式の知識がかなり要求されるので、その内容の詳細までははっきり理解できなかったのが残念であった。日本に帰ったらぼちぼち勉強して見よう。

5/10/01 IPAM Geometric Based Motion Convolution-based Methods for Interface Problems Steven Ruuth 拡散が生む(平均曲率流)による界面の運動を有限差分で解く場合、メッシュのサイズが粗いと界面が前に進まないという現象が起こる。そこで十分な精度を得る為にはメッシュを細かくしなければならないが、それは大きな計算機資源を要求する。この話者はそこで、スペクトル法に基づく数値計算法を提案し高速計算に成功した。この界面計算方法を一般化して、様々な核とのConvolutionとそのThresholdが生み出す界面の運動という問題を考えて幅広い応用を可能にしたという話。この一般化によって明示的に界面の運動とセルオートマトンとの関係が示され、多くの問題に応用が可能であるということを実例を交えて解説した。また、この方法は３次元にも簡単に応用でき、かつJunctionのある界面に対してもrobustに適用できるというメリットがあるということもいくつかの例で示した。

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11/7/00	Reversibility and level set	M. Petersen (Georgia Tech. Univ.)	Molecular Beam Epitaxyの数値研究。分子を薄膜の上に落して、それがどのように積み上がるかを研究する。コンピュータのチップの開発や最近アメリカでお金になるとされているナノテクノロジーの基礎づけとなる分野。Caflisch教授も現在はこの分野を研究している。講演の内容はMBEにおいて分子が一つの島構造(Island)を作るのだが、その界面時間発展をLevel Set法を基にした数値計算で研究したものである。LevelSet法をと確率的な方程式をKinetic Monte CalroシミュレーションのHybridさせて時間可逆(Reversible)なIslandの生成消滅の時間発展の様子を計算したというもの。
11/14/00	A polulation density approach that faciliates large-scale modeling of nueral network	D.Q. Nykamp	脳のニューロンネットワークの話。ほとんどわからなかったが、感じとしては脳のニューロンのシミュレーションをするのに、ニューロンネットワークをいくつかに分割して、それを組み合わせて脳全体をモデル化しようという話だったように思う。
11/21/00	Shocks and viscosity solutions	Y. Giga (Hokkaido Univ.)	儀我先生がＵＣＬＡに来られた。話の内容は一階の双曲型方程式のCauchy問題の解を人工的な粘性項を付け加えた正則化方程式の解による近似理論で研究するというものである。一般にこうした双曲型方程式にはショック不連続性を持つ解が発生することが知られているので、そのような不連続性が生成した後の解をどう記述するかが問題になる。空間微分に依存する項が保存則で与えられる時は entropy solutionという概念の枠組でその解はもとの双曲型の方程式の解に L^1収束することが知られているが、保存則で与えられない場合には粘性解の理論による結果が知られているが、MBEの運動を記述するような場合(ある種の単調性がなりたたない場合)にはこの粘性解の方法はうまくいかない。そこで、subgraph solutionという拡張概念を導入してその場合にショック形成後の解を近似することができるということを数学的に厳密に示したという内容であった。過去２回に比べて、内容が実にしっかりしていたので聴衆の反応がかなりよかったのが印象的だった。本来ならば儀我先生をおもてなししなければならないのに、その夜は夫婦で先生にごちそうになってしまった。儀我先生ありがとうございました。
11/28/00	Nonlinear schrodinger equations as models of siperfluidity	N. Berloff (UCLA)	極低温液体ヘリウムの超流動運動のモデル解析を数値計算と特異展開によって研究したもの。この運動はGPモデルと呼ばれる非線形シュレーディンガー方程式と連続の方程式、それにベルぬー意の方程式の組合せによって記述されるが、これまでの解析では実験から知られている分散関係をうまく近似していなかったのでうまく方程式を改良(一般化)してうまく近似したと言う話。具体的には球の周りのイオンの作る流れを数値計算し、そこから発生する渦輪の様子、境界との相互作用などを可視化して見せていた。私にとっては非常に面白い内容だった。
12/05/00	Difference schemes for conservation laws with a dicontinuous fux	J. Towers (CTSNET)	一次元双曲型の偏微分方程式の数値解法に関する研究。空間部分が保存則で与えられない時の差分スキームの評価をしていた。スキームはStaggerd mesh schemeと名付けられていたが、要するに中間の値をうまく使って空間微分の項を評価しようというアイデアのようであった。その中間値はsingular mapping とよばれる写像を定義して計算する。このアイデアで２次のスキームが構成されたと言うのが結論。以上が私が聞き取れた内容である。OHPを出し入れするスピードが高速すぎて、私のような一見初学者にはよくわからなかったろころも多いので、このコメントは嘘を含んでいるかもしれない。
12/12/00	On a motion of a two-dimensional vortex sheet and a double branched spiral	T. Sakajo ( Nagoya Univ.)	２次元渦層の運動を記述するBirkhoff-Rott方程式を正則化した方程式の解が爆発する時間を調べた。本来、正則化が行われているためにこの解は爆発しないことが知られているが、時間変数を複素数に拡張すると、複素時間平面の中に解の爆発する時間が存在する。このような時間を複素特異時間と呼ぶことにする。Sulem, Sulem, Frischらの方法とMooreによる漸近解析の結果に基づき数値的にその時刻を検出した。その複素特異時間の分布の特徴と振舞の様子を考察し、Birkhoff-Rott方程式の解が有限時間で爆発するのに正則化方程式の解がいつまでも滑らかであると言う事実の説明に成功した。さらに、正則化された２次元渦層のスパイラルの巻上がり解を近似する、あるモデルを提案し、その数学解析と渦層との比較を通じて、このモデルがある時刻以降の渦層の解をよく近似し、さらに数値的に得られた渦層運動の複素特異時間構造をよく説明していることを示した。また、いくつかのモデルと渦層の諸量の比較を通じて、Birkhoff-Rott方程式の特異点発生後の解としてこのスパイラル解を認めることができるのではないかとのconjectureを得た。
1/16/01	Ridgelets and Neural Networks	E. Cande (Cal. Tech.)	タイトルを見た時、脳科学の話だと思ったが、聞いて見ると関数近似の話であった。Ridge 関数と呼ばれるある種の関数群(その関数の一例としてニューラルネットワークのシナプスの作用を近似するsigmoid関数が含まれるので、そう呼んでいるのだが)の線形結合で近似するというもの。その基底関数としてはこのRidge関数をshiftしたものと拡大縮小したもの、これをWaveletsのアナロジーからRidgeltesと呼ぶらしいが、を用いる。係数はおなじみのRidgeletsと関数との積分によって定めるというもの。この分解作用素はL＾２ノルムを保存する等長作用素(まあ、これは当然の結果であろうが)であることと、不連続関数の近似において、Waveletsよりよい近似オーダーを持っていることが特徴。いくつかの計算例を見た。が、話が長すぎたために、最後は聴衆の方が疲れていたようである。
1/23/01	Superconsistency discretization	D. Funaro (Univ. Modena, Italy)	与えられた作用素Ｌを離散化した離散作用素L_dを与える場合そのconsistencyが問題になるが、今回の話では\|L(v)-L_d(v)\|を exactに０にするように離散点を選んで、少ない離散点でも安定に計算ができるようにするというアイデアを幾つかの例とともに解説した。一次元の場合はLegendre多項式の０点を使うのがよく、２次元の場合はそれらの０点に加え、いくつかの点を領域内に選んでやればうまくいくということだったが、英語が聞き取りにくいので詳細まではわからなかった。しかし、結果を見る限り、なかなか有望そうなメソッドではある。一度調べて見る必要性あり。
1/30/01	On discontinuous solutions of Hamilton-Jacobi equations	Bo Su (Univ. Wisconsin-Madison, USA)	Hamilton-Jacobi方程式の解の定義を石井先生のSemi-continuous solution を拡張することで、L^\infty解までの解のクラスを考えて、そのような解が存在することをPeronの方法によって示す。という話だった。最初にこの方程式の研究の歴史についてのレビューがあったので、勉強になった。が、彼の喋りはぼそぼそとしていて、板書も落書のような程度だったので、内容を理解するのに苦労した。
2/6/01	Active shielding and control of environmental noise	S. Tsynkov (North Carolina Univ. and Tel Aviv Univ.)	与えられた空間の中で発生するノイズ除去をHelmholtz作用素のグリーン関数などをうまく使うことで最適なノイズ除去関数を導入して行うというもの。想定している応用は掃除機のノイズを外へ出さないようにすること、あるいは携帯電話が拾う環境ノイズを除去することにあるという。ノイズを消すには勿論、ノイズを打ち消すような波動をつくればいいわけだが、それを計算するのはたいへんなので、あるコスト関数を導入して、その関数が最小になるようなノイズ除去関数を見付けようというアイデアだと私は理解した。このノイズ除去関数が厳密に計算できる簡単な領域形状の場合について、このアイデアがどのようにノイズを除去しているかを見せてくれた。本格的な応用はこれからとのこと。しかし、環境ノイズのように時間変調するような場合に応用ができるのだろうかと言われれば、少し難しいようにも思う。
2/13/01	First-Order system least squares and its dual for partial differential equations	Z. Cai (Purdue Univ., visiting UCLA)	First Order System Least Squares (FOSLS)と呼ばれる高階楕円型方程式の変分問題定式化における、そのエネルギー最小値を与える関数を求めるアルゴリズムについて解説し、その最小値を与える関数空間を性質のよいものにするための工夫として、線形作用素のDualを考えて、その上で最小関数を求めるという方法を紹介。また、そのいくつかの応用例について発表があった。高階の楕円型作用素 (セミナーでは具体的に２階の楕円型方程式を出していたが) を１階の楕円型方程式のシステムへと人工的に変更し、その上でのエネルギー関数を考え、適当な関数空間から最小値をみつけるという問題に再定式化する。この定式化によって、方程式は overdeterminedな系となってしまうので、境界条件や、補助的な方程式を導入して適当な関数空間からそのエネルギー関数を最小化するものを最小二乗法で見付けるというもの。
2/27/01	Stochastic perturbations uniqueness and selection principles of motion by mean curvature	A. Yip (Purdue Univ., visiting IPAM of UCLA)	平面の平均曲率流の問題において、解の一意性などが保証されない初期状態から始めた時に解がどの最終状態に近付くかという問題を考えている。講演者は曲率方程式にランダムなノイズ項を付け加えた確率平均曲率流による定式化を行って、そのノイズ項の影響を０に近付けた時の解の振舞に付いて、幾つかの結果を紹介した。結果は二つの円が一点で接している状態から始めた場合で、かつノイズがブラウン運動的、つまりホワイトノイズの場合の確率平均曲率流に限定されてはいたが、平均曲率＋ノイズの場合、ほとんど確実(almost surely) に二つの円は一つの円にくっついて運動をするということを示した。また、平均曲率＋ある外力＋ノイズの場合、５０％の確率で一つの円に、５０％の確率で二つの離れた円になることを示した。一意性が保証されないような物理問題において、ノイズの効果が解の選択に役割を果たしていることがよくわかった。
3/6/01	Degenerate parabolic euations; entropy solution theory, numerics and applications	K. Karlsen (IPAM of UCLA)	退化放物型の方程式のエントロピー解の定義とその存在と一意性についての話。あと数値計算するときの収束定理とそのオーダーに付いての話があった。ＯＨＰが多すぎて、私のような背景をあまり知らない素人には理解しにくかったように思う。
3/20/01	Vortex shedding from a torsionally oscillating sphere	R. Hollerbach (Glasglow Univ and Princeton Univ.)	久しぶりの流体の話である。糸の先に球をつけて剛体回転させると、その表面での粘性の効果により、表面流ができる。その表面流は極から表面を這うように平行に進み、そして赤道付近から外に向けてジェット流のように吹き出して行く。このジェット流れは、球の回転が強くなると、不安定化しレイノルズ数２００付近でマッシュルーム状の渦構造を作る。さらに回転数を上げると渦の剥離が赤道以外のところからも起こり(この段階でもある種の対称性は失われていない。)、そして最終的には乱流状態になる。この実験の結果とそれを数値的に調べて、流れによる流体粒子の運動などをシミュレートして詳しいメカニズムの説明を行おうとしている。現象そのものはたいへんおもしろいと思った。うまくこの話を発展させれば土星の周りの輪っかがどうして赤道の上だけに出来るのかが説明できそうな気がする(既に説明されているのか？)。惑星科学の本を読んで見て、この仮説を検証する価値はある。
4/10/01	A common level set framework for active contours and Mumford-shah sengmentation in image processing	L. Vese (UCLA)	与えられた画像の輪郭を取り出すという操作を行うアルゴリズムとして edge関数と呼ばれる境界で０、その他の領域で正の定数になるものを選んで大きな閉曲線を初期曲線として、それを縮めて行き、ある点でedge関数が０になったらその点を縮めるのをやめるというステップを繰り返して最後にその閉曲線の長さと内側の面積を最小にするようなものを求めるというものがある。これをactive contour with edgesというが、これは与えられた画像の境界がはっきりしていない場合や内部に境界があるような画像(例えばドーナツのような形)そして、ノイズが入ったようなものにはあまり有効でない。そこで Level Set methodを援用して、レベルセットが平均曲率流で縮む過程で、あるエネルギー関数が最小になるようなものを選び出すというアルゴリズムを開発し上記の古典的な方法がうまく動作しない場合にでもかなり強固に働くことを例とともに紹介された。アイデアもおもしろいし、複雑な物体の境界を (例えば脳の画像解析など)捉えるのにはたいへん有効に思える。３次元の物体を定義するのにポリゴンではなくレベルセットの０境界として定義するというやり方は、トポロジーの変化にフレキシブルに対応できるので、応用の上でも重要かと思える。Level Set methodという言葉は平均曲率流の数値計算で使うと言う話は知っていたが、ここまでくると思想の領域に近い。

Date	Seminar	Title	Speaker	Comments
11/13/00	Perspective in Mathematical Physics	Inverse Problerms on Mathematical Physics	記録忘れる	このセミナーは様々な分野の専門家を呼んで、これまでの研究の歴史と、その概説、それに未解決問題などを詳しく解説するためのもので、日本で言えば集中講義のようなもの。といっても講演時間は一時間なので、かなりコンパクトにまとめられないと、話がまとまらない。話者の能力が問われる。今回の話はタイトルの通り逆問題の講義だった。一般論をこまかくやるのではなく、Electric Impedance Tomography, Inverse Scattering Problem in quantum mechanics, Inverse Problem of reflection seismologyの具体的な応用を説明して、逆問題とは何か、そして何がわかっていて、何がわかっていないかを丁寧に解説するというスタイルであった。たいへんわかりやすくてよかった。
1/26/00	Special Applied Math Colloquium	Computational models and results for martensitic thin films	M. Luskin (Univ. Minnesota)	非常に薄い結晶膜の温度による相変化に伴う、運動の様子を、運動の表面エネルギーなどのエネルギー関数の最小化問題として数値計算して、それが現実の現象をよく説明している事を解説したもの。最近アメリカではマイクロマシーンに関する数理的研究が盛んである。この研究も同様である。与えられたエネルギーはダブルウェルポテンシャルになっているようで、その二つの０点をどのようにして求めるかを議論していた。
2/8/00	Mathematics Colloquium	Deforming a surface in the direction its mean curvature vector	Mu-Tao Wang	平均曲率に従って曲面が時間発展する問題に関する話。余次元１の曲線に対するこの手の問題はよく話を聞いて知っているのだが、今回の話は余次元がそれより大きい場合の研究である。これに対して、写像のヤコビアンが１以下の場合、平均曲率流は定常流に近付くという定理を話者は示した。証明はその場で聞いても私にはわかるものではなかった。確かに余次元(自由度)が増えれば、一点に縮小せずに定常な流れに近付くようなものがあるのは容易に予想できる。また、本質的にどういう現象を念頭においてなされている研究かはわからなかった。私が聞き逃しただけかもしれないが、いずれにせよ数学コロキウムでの講演だから、別に数学的な興味だけでいいのかもしれない。(本当はよくないかもしれないが。)
5/9/01	IPAM Geometric Based Motion	Theory and Modeling for Turbulent Reactive Fronts	A.J. Majda	A.J.Majda が来た。話しは巨視的スケールの平均流の中に乱れた流れの効果をいれたTurbulent Reaction-Diffusion方程式の簡単なモデルの導入とその数学解析と応用についての話であった。その数学理論の概要を前半でざっと説明し(詳細はPhysics of Fluids 314を参照の事)、後半はその応用として、このような乱れた流れの中における燃焼問題の解析と数値計算の例が示された。その計算結果はなかなか面白そうだったが確率微分方程式の知識がかなり要求されるので、その内容の詳細までははっきり理解できなかったのが残念であった。日本に帰ったらぼちぼち勉強して見よう。
5/10/01	IPAM Geometric Based Motion	Convolution-based Methods for Interface Problems	Steven Ruuth	拡散が生む(平均曲率流)による界面の運動を有限差分で解く場合、メッシュのサイズが粗いと界面が前に進まないという現象が起こる。そこで十分な精度を得る為にはメッシュを細かくしなければならないが、それは大きな計算機資源を要求する。この話者はそこで、スペクトル法に基づく数値計算法を提案し高速計算に成功した。この界面計算方法を一般化して、様々な核とのConvolutionとそのThresholdが生み出す界面の運動という問題を考えて幅広い応用を可能にしたという話。この一般化によって明示的に界面の運動とセルオートマトンとの関係が示され、多くの問題に応用が可能であるということを実例を交えて解説した。また、この方法は３次元にも簡単に応用でき、かつJunctionのある界面に対してもrobustに適用できるというメリットがあるということもいくつかの例で示した。