吉田伸生著☆「ルベーグ積分入門--使うための理論と演習」目次

「ルベーグ積分入門 --使うための理論と演習」目次

序
- 0.1 まえがき
- 0.2 数に関する記号
- 0.3 論理・集合・写像に関する記号
- 0.4 リーマン積分からルベーグ積分へ

σ-加法族と測度
- 1.1 σ-加法族
- 1.2 ボレル集合体
- 1.3 測度
- 1.4 ボレル集合体上のルベーグ測度・スティルチェス測度
- 1.5 測度零集合
積分の定義と収束定理
- 2.1 可測関数
- 2.2 可測関数の演算と極限
- 2.3 積分の定義
- 2.4 収束定理
- 2.5 径数付き積分の微分
ルベーグ測度
- 3.1 測度の完備化
- 3.2 ルベーグ測度
- 3.3 リーマン積分との関係
測度の存在と一意性
- 4.1 二つの測度が一致する為の条件
- 4.2 半加法族と拡張定理
- 4.3 （★）外測度
- 4.4 （★）拡張定理（存在部分）の証明
- 4.5（★）完備化と外測度
フビ二の定理
- 5.1 積可測空間
- 5.2 積測度
- 5.3 フビニの定理
- 5.4 完備化に対するフビニの定理
- 5.5 変数変換公式とその応用
L^p 空間
- 6.1 L^p 空間
- 6.2 L^p 空間の完備性
- 6.3 測度収束
実解析の基本的道具
- 7.1 合成積
- 7.2 R^d上の測度の位相正則性
- 7.3 滑らかな関数の L^p-稠密性/軟化子
- 7.4 多項式近似定理
フーリエ級数・フーリエ変換
- 8.1 フーリエ級数
- 8.2 三角関数によるフーリエ級数展開
- 8.3 L¹ (R^d) に対するフーリエ変換
- 8.4 L² (R^d) に対するフーリエ変換
複素測度と有界変動関数
- 9.1 複素測度とその変動
- 9.2 Jordan 分解
- 9.3 符号付きスティルチェス測度
複素測度と有界変動関数の微分
- 10.1 ラドン-ニコディ厶の定理
- 10.2 （★）L^p の双対空間/絶対連続性の特徴づけ
- 10.3 一般化された微積分の基本公式
- 10.4 （★）複素測度の微分
付録
- 11.1 集合の濃度
- 11.2 ユークリッド空間の位相
- 11.3 連続関数・滑らかな関数の拡張
- 11.4 距離空間上の測度の位相正則性
- 11.5 双対空間とリースの表現定理
問の略解