2019年度確率論早春セミナー

・塩沢裕一(大阪大学):分枝ブラウン運動の最大値過程の解析

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・楠岡誠一郎(岡山大学): 確率偏微分方程式と量子場モデル

最近目覚ましい発展を遂げている繰り込みを用いて非線形確率偏微分方程式を解く話題について、そのアイデアと考え方、そして最近の発展について説明を行う。さらに、この話題の背景にある量子場モデルについても説明をしたい。

・得重雄毅 (京都大学) : Regularity results of the speed of biased random walks on Galton -Watson trees

We prove that the speed of $\lambda$-biased random walks on a supercritical Galton-Watson tree is differentiable and the derivative has a certain covariance expression. The proof involves a regeneration structure of Galton-Watson trees, especially a detailed analysis of moments of regenaration times. (joint with A. Bowditch)

・中島秀太 (京都大学): Central limit theorem for the partition function of directed polymers in the whole $L^2$-region

本講演では方向付きポリマーモデルの分配関数に関する中心極限定理を議論する。Comets-Liuにより十分高い温度で中心極限定理が成り立つ事が知られていたが、本研究では$L^2$領域と呼ばれる領域においても成り立つことを示した。この研究はClément Cosco氏（パリ第七大学）との共同研究である。

・難波隆弥 (岡山大学): A moderate deviation principle on a covering graph of polynomial volume growth

A moderate deviation principle (MDP) on a covering graph whose covering transformation group is a finite generated group of polynomial volume growth is discussed in a geometric point of view. It deals with any intermediate speed rates between those of LLN-types and those of CLT-types. We prove that a centralized random walk on the graph satisfies an MDP with the good rate function defined by the quadratic form determined by the Albanese metric associated with the given random walk. If time permits, we talk about an application of our MDPs to show functional laws of iterated logarithm on the covering graph.

・野場啓 (京都大学): On the bail-out dividend problem for spectrally negative Markov additive models

My talk is based on the joint work with J. L. Pérez and X. Yu. We studies the bail-out optimal dividend problem with regime switching under the constraint that the cumulative dividend strategy is absolutely continuous. We confirm the optimality of the regime-modulated refraction-reflection strategy when the underlying risk model follows a general spectrally negative Markov additive process. To verify the conjecture of a barrier type optimal control, we first introduce and study an auxiliary problem with the final payoff at an exponential terminal time and characterize the optimal threshold explicitly using fluctuation identities of the refracted-reflected Lévy process. Second, we transform the problem with regime-switching into an equivalent local optimization problem with a final payoff up to the first regime switching time. The refraction-reflection strategy with regime-modulated thresholds can be shown as optimal by using results in the first step and some fixed point arguments for auxiliary recursive iterations.

・松浦浩平 (東北大学): Horn shape領域上の反射壁ブラウン運動の緊密性

緊密性は対称マルコフ過程に対して定義される概念である. 1次元拡散過程が緊密性を持つこととそれが自然境界を持たないことは同値である. 

従って, 緊密性を持つマルコフ過程は自然境界を持たない1次元拡散過程に近い. 本講演では, horn shape領域上の反射壁ブラウン運動が緊密性を持つための十分条件を与え, そのスペクトル, エルゴード性について述べる.

・藪奥哲史 (千葉大学): Eigenvalue process of Ginibre ensemble and overlaps of their eigenvectors

Ginibreアンサンブルの固有値過程を考える。Ginibreアンサンブルは非対称ランダム行列のモデルであり、ランダム行列理論では盛んに研究されている。しかし、時間発展モデルについてはあまり研究されていない。エルミート行列などの正規行列とは異なり、その非対称性から固有値の解析が困難になるという背景がある。本講演では、行列の三角化を用いずにGinibreアンサンブルの固有値過程のなす確率微分方程式を導出し、それによって得られるいくつかの性質を述べる。また、非正規行列モデルでは固有ベクトルがその固有値過程の挙動に影響を与えることを言及する.

・世良透 (京都大学): 一次元間欠力学系に関する関数型極限定理

一次元間欠力学系とは，区間写像の反復作用による力学系であって（弱反発的な）中立不動点を持つものを指す．この力学系は統計力学において間欠現象のモデルとして研究されてきた．この文脈の下では，中立不動点の近傍は持続的安定状態であり，遠方は一時的不安定状態と見なせる．

本講演では，ランダム初期点の下での一次元間欠力学系に対する関数型極限定理について紹介する．より詳しく述べると，中立不動点の近傍・遠方への滞在時間過程を考えたとき，そのスケーリング極限として，マルチレイ上を走るBessel拡散過程の滞在時間過程や局所時間過程が現れることを紹介する．これは先行研究であるLamperti型逆正弦法則やDarling--Kac型極限定理に対する関数型・結合分布的拡張と見なせる．

・山戸康祐 (京都大学): Fluctuation scaling limit of inverse local times of jumping-in diffusions

境界からの跳躍流入を除き, 1次元拡散過程のように振舞う確率過程(jumping-in diffusion)の逆局所時間のスケール極限について考察する.

証明においてはクレイン—小谷の対応により, 流出境界をもつ数学に対しても通常の拡散過程の場合と同様に, 逆局所時間とスピード測度とのある意味での1対1対応が成り立つことが鍵となる. また, スケール極限の結果を応用することによりtwo-sided jumping-in diffusionの片側滞在時間に関する極限を考察する.

本研究は矢野孝次氏(京都大学)との共同研究である.

・Zehao Guan (東京大学): Hydrodynamic limits of interacting particle systems in periodic realizations of Crystal Lattice

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