名古屋微分方程式セミナー 2017年度

本講演では Klein-Gordon-Zakharov システムの, 正則性が低い Sobolev 空間での初期値問題を考察し, 時間局所適切性を得ることを目標とする. 正則性が低い空間で問題を考えると非線形項の特異性が強く, 逐次近似法を用いて適切性を得るために必要な非線形項評価が難しい部分が存在する. その部分を, Bejenaru-Herr-Tataru によって証明された曲面上での合成積評価を適用し, 必要な非線形項評価式を得られたことを述べる. この評価式はすでに Zakharov システムに適用され既存の結果の改良に成功している. ただし二本の等式の線形部が分散性の観点から見ても異なる Zakharov システムとは違い, Klein-Gordon-Zakharov システムでの適用はより精密で複雑な評価が必要とされる.

Hasegawa-Wakatani equations describing plasma phenomena of nuclear fusion are nonlinear partial differential equations with two unknown functions (plasma density and electrostatic potential). I will talk about the initial boundary value problem for Hasegawa-Wakatani equations when the initial data is almost-periodic to the uniform magnetic field direction and the problem taking the zero limit of the plasma resistivity. In this presentation I will talk about mathematical theory of the almost-periodic function mainly.

I inform the recent result on local energy decay for wave equation on exterior domains. The resolvent estimate for high frequency is assumed. This talk is based on the joint work with Vladimir S. Gueorguiev (Univ. Pisa).

We study global dynamics of solutions to the Cauchy problem for the focusing semi-linear Schrödinger equation with a potential on the real line. The problem is locally well-posed in the energy space. Our aim in this presentation is to study global behavior of the solution and prove a scattering result and a blow-up result for the problem with the data whose mass-energy is less than that of the ground state, where the ground state is the unique radial positive solution to the stationary Schrödinger equation without the potential. The scattering result for the defocusing version was recently studied by Lafontain.

非線形項に 1 階の微分を含む Schrödinger 方程式の周期境界条件下での初期値問題を考え, 十分に滑らかな初期値に対して時間局所適切となるための非線形項の必要十分条件を与える. 非適切性の証明においてはゲージ変換とエネルギー法を用いて非線形項が持つ放物型平滑化効果を引き出す点が証明の鍵である. 適切性は標準的な手法により示せるので, 本講演では特に非適切性について詳しく説明する.

線形の擬微分作用素のシンボル $\sigma(x,\xi)$ が 1,1 型とは, $x$ の微分に関してはオーダーが 1 つ上がり, $\xi$ の微分に関してはオーダーが 1 つ下がるものを意味し, このタイプのシンボルは, 一般には$L^2$-有界性を保証しないなど特殊ものであることが知られている. 本講演では, このタイプの双線形擬微分作用素を考え, その応用として, 局所 Hardy 空間での Kato-Ponce の不等式を導き, それがある指数の範囲では従来知られている $L^p$ 空間の枠組みでの不等式の改良になっていることをお話したい．

We study one dimensional quantum Zakharov equation (qZ) on periodic boundary condition. This equation is derived from the Zakharov equation by taking account of quantum number. We find the lowest possible regularities \(s_1\) and \(s_2\) that the qZ equation is locally well-posed for Schrödinger data in \(H^{s_1}(\mathbb{T})\) and wave data in \(H^{s_2}(\mathbb{T})\times H^{s_2-2}(\mathbb{T})\) by using the Fourier restriction norm method and fixed point theorem. Furthermore, we establish the Gibbs measure corresponding to Hamiltonian of qZ equation.

splitting method は数値計算で用いられる手法の一つで, 偏微分方程式 \(u_t = (A+B)u\) の近似として, \(u_t = Au\), \(u_t = Bu\) の二式から作られるシステムを解くというものである. 今回, 分散項を一般化した Benjamin-Ono 方程式に対し, 二種類の近似方程式系を考え, 各々の近似解と真の解との誤差について適切な評価を得ることができたので, それを紹介する.

$p$-優調和関数に対する Wolff ポテンシャルによる各点評価について考える. この評価は, $p$-調和関数の Wiener の判定条件の必要性のため Kilpeläinen-Malý (1994) によって導入された. Trudinger-Wang　(2002) はこの評価に Poisson 変形を利用した新証明を与えた. 本講演では, Poisson 変形と Kilpeläinen-Malý の手法を組み合わせることで, この評価に新証明を与える.

In the field of partial differential equations, a celebrated and famous result of Agmon, Douglis and Nirenberg states that if an elliptic differential operator A satisfies the so-called complementing condition with respect to a number of boundary operators, then a solution to the corresponding boundary value problem satisfies an a priori \(L^p\) estimate. This theorem is fundamental to the investigation of both linear and non-linear boundary value problems of elliptic type. In this talk, I will consider the parabolic operator related to A and present a new result, which states that a time-periodic solution to the corresponding parabolic boundary value problem satisfies a similar \(L^p\) estimate. I will present the result in such a way that it contains the theorem of Agmon, Douglis and Nirenberg as a special case. I will use an approach based solely on Fourier multipliers.

本講演では，Korteweg 型の圧縮性流体モデルを一般領域上で考察し, 線形化方程式に付随する解析半群の生成及び最大 $L_p\text{-}L_q$ 正則性定理について議論する. Korteweg 型の圧縮性流体モデルとは, 応力テンソルに密度勾配の効果を取り入れたモデルを意味する. 本講演では, Dunn and Serrin (1985) により導出されたモデルを扱う.

本講演では全空間において臨界の分数冪粘性を有するハミルトン-ヤコビ方程式の積分方程式の可解性について考察する. 通常の粘性ハミルトン-ヤコビ方程式については $W^{1,\infty}$ に属する任意の初期値に対して, 積分方程式の時間大域可解性が知られている. 一方で臨界の分数冪粘性を有する場合は主要部と反応項の微分回数が (形式的に) 等しくなるため, 上記のソボレフ空間において解を構成することは期待できない. 本講演では初期値及び解の属する空間としてベゾフ空間を用いることで問題点を回避し, 十分小さな初期値に対して時間大域解を構成できることを紹介し, その解の漸近挙動について述べる. 本講演内容は東北大学の岩渕司氏との共同研究に基づく.

回転と安定成層の影響を考慮した非圧縮性 Boussinesq 方程式の時間周期問題を時間半区間において初期条件下で考察する. 同問題に対しては, Geissert-Hieber-Nguyen (2016) による積分方程式への定式化と, 解の一意存在に関する一般論が知られている. 本講演では, 回転と安定成層による分散性を用いることで, 上記の一般論において仮定されている時間周期的外力項への条件（大きさ・空間減衰・一意性）が改良されることを報告する. 尚, 本講演の内容は, Matthias Hieber 氏 (Darmstadt), Alex Mahalov 氏 (Arizona) との共同研究に基づくものである.

ユークリッド空間上の連続関数は, 定義域を超曲面に制限することにより, その超曲面上の連続関数と見なすことができる. この主張において, 「連続」を「可積分」に置き換えることは可能だろうか? 超曲面の測度は 0 であるので, この場合はそこへの制限を自然な方法で定義できることすら必ずしも自明ではない. このような制限の存在を保証する一連の主張は「制限定理」と総称され, 掛谷問題などの調和解析の有名な未解決問題とも関連していることが知られている. 一方, 制限定理と偏微分方程式論との密接な関連性も認識されており, 例えば Strichartz 評価式や平滑化評価式といった Schrödinger 方程式の Cauchy 問題に関する基本的な評価式は, 制限定理から導出可能であることが知られている. この講演ではこれらについて概説するとともに, 近年取り組んでいる平滑化評価式の最良定数の問題, さらにはその Schrödinger 型方程式の Cauchy 問題の適切性に関する溝畑・竹内予想との関連性などについて述べたい.

We prove smoothing estimates for velocity averages of the kinetic transport equation in hyperbolic Sobolev spaces at the critical regularity, leading to a complete characterization of the allowable regularity exponents. Such estimates will be deduced from some mixed-norm estimates for the cone multiplier operator at a certain critical index. This is a joint work with Neal Bez and Sanghyuk Lee.

全空間上の非圧縮ナビエ・ストークス方程式の初期値問題の強可解性を弱ルベーグ空間 $L^{n,\infty}$ に於いて考察する. 外力がない場合の可解性については, Kozono-Yamazaki (1995), Barraza (1999) などにより得られている. 本講演では, 外力がある場合の強可解性について考察を行う. まず, Meyer 型の評価を導入することで, スケール不変な空間に属する外力に対して, 同方程式の mild solutionを, 定常解や時間周期解を含むような枠組みで構成することを試みる. さらに, 弱ルベーグ空間ではストークス半群は $t=0$ で強連続ではないが, 外力に定性的な条件を課すことで, 同方程式のmild solutionがstrong solutionになることを考察する. 次に, 上述の外力に要求された条件を満たすような弱ルベーグ空間内の部分空間の特徴づけを行い, この部分空間はストークス半群が強連続となる最大の部分空間となっていることに注意する. さらに, この部分空間上で同方程式の（時間）局所適切性を考察する. 特に, 藤田・加藤の手法により構成した mild solution に関して, 解曲線の $L^{n,\infty}$ の位相における時刻原点での連続性と, 一意性条件との関係性を Brezis (1994) の議論を援用して明らかにする. 本講演は, 筒井容平氏（信州大学）との共同研究に基づく.

In this talk we consider a fully parabolic Keller-Segel system with "degenerate" diffusion. In the case of a "non-degenerate" diffusion, Cieślak-Stinner (2012, 2014) proved there is a finite-time blow-up result under the super critical condition. Although there is a results on blow-up in "degenerate" system, we do not know whether it is finite time or infinite time (I.-Seki-Yokota (2014)). Therefore we will consider the blow-up time in this talk.

We show how new pricing formulas for exotic options can be derived within a Lévy framework. To the purpose, a unifying formula is obtained by solving some nested Cauchy problem for pseudodifferential equations generalizing Black–Scholes PDE. Several examples of pricing formulas under the Lévy processes are provided to illustrate the flexibility of the method.

質量臨界指数における退化移流拡散方程式の解の非有界性と有限時間で爆発する球対称解の質量凝集現象を考察する. 退化移流拡散方程式に現れる断熱定数の値によって解の時間大域挙動が異なると知られている. 特に, 方程式を不変に保つ尺度変換と総質量を保つ尺度変換が一致する質量臨界指数において, 解の時間大域存在と有限時間爆発を分類する初期値の総質量の閾値が知られている. 本講演では, 既知の重み付き空間における virial 法則を一般化し, 空間遠方における制約を課さない場合に解の非有界性を誘引する十分条件を述べる. さらに, 有限時間爆発する球対称解に対して, 総質量の凝集領域の評価を述べる. 本講演の内容の一部は, 東北大学の小川卓克氏との共同研究に基づく.

非線形分散型方程式の零構造および関連する話題について論ずる.

・初期値問題の適切性に関する一般論
・局所解の構成
・解の長時間挙動 その1：ライフスパンの評価
・解の長時間挙動 その2：零構造と、弱い零構造
・まとめと展望

Recently, the orthonormal Strichartz estimate (say ONS) which is one of the generalization of the classical Strichartz estimate for free Schrödinger propagator is studied by few mathematicians — R. Frank, M. Lewin, E. Lieb, J. Sabin, R. Seiringer motivated by the theory for many-body fermions. They proved ONS for some pairs of exponents $p,q$ but completing the picture of admissible pairs $p,q$ for ONS is still open. I will talk about recent our result concerning to this problem and provide few techniques from Harmonic and real analysis to extend the picture. This talk is based on the joint work with N. Bez, Y. Hong, S. Lee and Y. Sawano.

Let $\sigma_i$, $i=1,\ldots,n$, denote reverse doubling weights on $\mathbb{R}^d$, let $\mathcal{DR}(\mathbb{R}^d)$ denote the set of all dyadic rectangles on $\mathbb{R}^d$ (Cartesian products of usual dyadic intervals) and let $K:\,\mathcal{DR}(\mathbb{R}^d)\to[0,\infty)$ be a map. In this talk we give the $n$-linear embedding theorem for dyadic rectangles. That is, we prove the $n$-linear embedding inequality for dyadic rectangles \[ \sum_{R\in\mathcal{DR}(\mathbb{R}^d)} K(R)\prod_{i=1}^n\left|\int_{R}f_i\,{\rm d}\sigma_i\right| \le C \prod_{i=1}^n \|f_i\|_{L^{p_i}(\sigma_i)} \] can be characterized by simple testing condition \[ K(R)\prod_{i=1}^n\sigma_i(R) \le C \prod_{i=1}^n\sigma_i(R)^{\frac{1}{p_i}} \quad R\in\mathcal{DR}(\mathbb{R}^d), \] in the range 1 $< p_{i}<\infty$ and $\sum_{i=1}^n\frac{1}{p_i}>$ 1. As a corollary to this theorem, for reverse doubling weights, we verify a necessary and sufficient condition for which the weighted norm inequality for the multilinear strong positive dyadic operator and for multilinear strong fractional integral operator to hold. This is joint work with Professor Kôzô Yabuta.

The initial value problem for the two-dimensional Zakharov-Kuznetsov equation is locally well-posed in $H^{s}(\mathbb{R}^2)$ when $\frac{1}{2}<{s}$. Local well-posedness for the 2D ZK equation in $H^{\frac{1}{2}}(\mathbb{R}^2)$ corresponds to the non-admissible endpoint Strichartz estimate, however we combine one kind of sharp Strichartz estimate with modulation decompose technique to obtain local well-posedness in $B^{\frac{1}{2}}_{2,1}(\mathbb{R}^2)$ which is a subspace of $H^{\frac{1}{2}}(\mathbb{R}^2)$.
Reference
[1] Axel Grünrock and Sebastian Herr. The Fourier restriction norm method for the Zakharov-Kuznetsov equation. Discrete Contin. Dyn. Syst., 34(5) (2014), 2061-2068.
[2] M. Hadac, S. Herr and H. Koch. Well-posedness and scattering for the KP-II equation in a critical space. Ann. Inst. H. Poincare Anal. NonLineaire 26 (2009), 917-941.

この講義の目標は, 幾何解析, 調和解析や分散偏微分方程式に現れる幾つかの重要な不等式を熱流単調性の手法を用いて証明する事である. 熱流単調性の手法は, Hölder の不等式, Loomis-Whitney の不等式, 畳み込みに関する Young の不等式などの古曲的な不等式に関する現代的なアプローチである. この手法に基づいて本講義の内容は次の通り:

1. イントロ
2. Brascamp-Lieb の不等式
3. 畳み込みに関する Young の不等式
4. Schrödinger 方程式に対する Strichartz 評価
5. Hausdorff-Young の不等式

5 階修正 KdV 型方程式の解の漸近挙動について考える． Sobolev 空間における時間局所的適切性は, Kwon ('08) による, 逐次近似法を用いる限り最良の結果が知られている. 本講演では, 解の時間減衰を得るため, 重み付き Sobolev 空間を用いる. Fourier 制限ノルム空間において Kwon ('08) が示した 3 重線形評価式を一般化し, 正則性が低い重み付き Sobolev 空間での適切性を示す. また, Ifrim and Tataru ('15) による「波束テスト法」(method of testing by wave packets) を用いて, 5 階修正 KdV 型方程式の解は自己相似解に漸近することを示す.

We consider the three-dimensional Navier-Stokes equations for axisymmetric initial data. It is known that the Cauchy problem is globally well-posed for large axisymmetric initial data in $L_3$ with finite energy, if the swirl component of initial velocity is identically zero (with no swirl). However, unique solvability is unknown in general for the case with swirl. In this talk, we study axisymmetric flows with swirl in an exterior domain subject to the slip boundary condition. We report unique existence of global solutions for large axisymmetric data in $L_3$ with finite energy, satisfying a decay condition of the swirl component. This talk is based on a joint work with G. Seregin (St. Petersburg/ Oxford U.).

In this talk, we outline the results about relations between existence of arithmetic progressions (especially 'weak' arithmetic progressions) and fractal dimensions. We provide that sets of the real numbers must contain 'weak' arithmetic progressions of given length if the dimensions of the sets are near enough to 1. We also consider higher dimensional analogues of these problems. As a consequence, we obtain a discretised version of a 'reverse Kakeya problem.' This is a joint work with Jonathan M. Fraser and Han Yu. In the later of this talk, we discuss applications to number theory. Especially we provide the weak solution to the higher dimensional expansion of Erdös–Turán conjecture.