名古屋微分方程式セミナー 2012年度

　We prove the local well-posedness for the Cauchy problem of Korteweg-de Vries equation in a quasi periodic function space. The function space contains functions satisfying f=f₁+f₂+...+f_N where f_j is in the Sobolev space of order s > −1/2N of a_j periodic functions. Note that f is not periodic when the ratio of periods a_i/a_j is irrational. We also prove an ill-posedness result in the sense that the flow map (if it exists) is not C², which is related to the Diophantine problem. We also prove the global well-posedness in an almost periodic function space.

　In this talk, we consider the uniqueness of stationary solutions to the Navier-Stokes equation in 3-dimensional exterior domains within the class u ∈ L^3,∞ with ∇u ∈ L^3/2,∞, where L^3,∞ and L^3/2,∞ are the Lorentz spaces. We show that if u and v are solutions, and if u ∈ L^p for some p > 3 and v is sufficiently small in L^3,∞, then u=v. The proof is based on the regularity theory of the perturbed Stokes equations and the bootstrap argument.

　通常の Hardy の不等式は、低階の Sobolev 空間における斉次重み付き不等式として知られている。 また、臨界 Sobolev 空間に対する Hardy 型不等式としては、非斉次対数型重み付き不等式が証明されている。 本講演では、非斉次対数型重み付き不等式に対し、その拡張を考える。 1つ目の拡張として、一般に不等式は全空間で得られているが、一般の領域で不等式を考察し、自由境界条件において成り立ち得る不等式を考察し証明を与える。 またもう一方の拡張の方向として、Sobolev 空間を Sobolev-Lorentz 空間に置き換え、臨界 Sobolev-Lorentz 空間に対する不等式を構築する。 このことにより、例えば、弱 Lebesgue 空間を含む弱臨界 Sobolev 空間に対する対数型 Hardy の不等式が得られる。 同研究内容は、埼玉大学の町原秀二先生、早稲田大学の小澤徹先生との共同研究である。

　空間 1 次元 Maxwell-Dirac 方程式に Lorenz ゲージ条件を課した場合の時間局所適切性について考える. 空間1次元の場合には, Lorenz ゲージ条件により無限遠で 0 となるような解は自明解しか存在しないので, 遠方における条件を課して考察する必要がある. そのような条件のもとで, 適切性が成り立つ領域を決定することができることを示す. また, その領域の外の一部では, 非適切になることについても言及したい．

　圧縮性粘性流体の運動を記述する Navier-Stokes 方程式に対応する Stokes 作用素の R-有界性を一般領域で示し、その応用として Navier-Stokes 方程式の局所可解性と有界領域での時間大域解の存在を論じる。 また外部領域などの非有界領域での時間大域解についても言及したい。

　「Jeffery-Hamel の流れ」とは, 2 次元楔型領域においてその頂点からの流体の湧き出し又は吸い込みによって得られる流体の運動である. その運動は定常 Navier-Stokes 方程式によって記述されるが, ある特殊な条件を用いているために, 常微分方程式の問題に帰着することが知られている. その常微分方程式は Rosenhead (1940年) によって楕円関数を用いた解析がなされており, 解の振る舞いについての結果がよく知られている.
　本講演においては「Jeffery-Hamelの流れ」の関数解析による結果を紹介する.

　シュレデインガー方程式には様々なタイプの平滑化評価式が知られているが, それらの最良定数に関しては, ある限られた状況に関するものが B. Simon により与えられているに過ぎない. この講演では, より一般の分散型方程式において, かなり広いクラスの平滑化評価式に対してその最良定数を与えるとともに, 最良を実現する初期値の存在・非存在についても併せて論ずる.
　なおこの講演は, バーミンガム大の N. Bez 氏との最近の共同研究にもとづくものである.

　本講演では、未知関数が行列に値をとるような非線形シュレディンガー方程式の初期値問題の時間大域解の漸近挙動を考察する。 この方程式はアルカリ金属のボース-アインシュタイン凝縮を記述し、非線形項は空間１次元の臨界冪である３次である。 解がスカラー値である場合の非線形シュレディンガー方程式の初期値問題には多くの研究結果が存在し、解が修正自由解に近づくことがよく知られている。 しかし解が行列値の場合は、行列の非可換性により修正の決定に困難が生じる。 この講演では、和田による Hartree Fock 方程式に対する手法を用いることにより、解の漸近状態が決定できることを紹介する。 なお本講演は北直泰氏(宮崎大・教育文化)との共同研究に基づく。

　空間 2 次元において 3 次の非線形項を持つ波動方程式が小さな初期値に対して大域解をもつための十分条件としては上見氏による条件が知られている. これはいわゆる null 形式と消散型非線形項の双方を含む条件となっている. 本講演ではこの条件下での大域解の各点的な漸近挙動に関する結果を紹介する. 応用として 3 次の消散型非線形項を持つ場合にエネルギーの減衰が得られることを示す. また複素数値の場合に拡張することにより, エネルギーは保存されるが, 解が漸近自由にはならないような非線形項の例が得られることも示す. 本講演の主結果は大阪大学の砂川秀明氏と室谷大輔氏との共同研究に基づく.

　本講演では Kawahara 方程式の初期値問題の適切性を考える. Kawahara 方程式は水の基礎方程式の近似により導出され, 具体的には KdV 方程式に5次の分散項を加えた非線形分散型方程式として記述される. 本講演の目的は初期値を Sobolev 空間 H^s に与え, より低い正則性で時間大域的適切性を求めることである. Chen-Guo (2012) が, Colliander-Keel-Staffilani-Takaoka-Tao (2003) が構築した I-method を用いることで保存則が成立しないクラス, 正確には s ≥ −7/4 で Kawahara 方程式の時間大域的適切性を証明した. しかし, 彼らは非線形項を線形の近似とみなした手法しか用いておらず, この結果は非線形項の構造を反映しているとはいいがたい. そこである意味で分散性の方が非線形性よりも強いという Kawahara 方程式の特性を反映した関数空間を構成し, I-method を適用することで線形近似に基づく手法により得られた結果を改善することに成功したのでそれを紹介する.

　絶対値 p (1<p≤1+2/n ) 乗の非線形項を持つシュレディンガー方程式に対する時間大域解の存在を考える. この種の非線形項はゲージ不変性を持たないため解の L² 保存が不明であり, 大域解の存在は分からず長い間未解決であった. もっとも(n,p)=(2,2)の場合には波動作用素の存在が知られていた. そこで今回次の結果を得た. 1<p≤1+2/n の場合, 初期値がどんなに小さくてもその形状を選べば局所解は大域的には延長できず, その L² ノルムは解の最大存在時刻で爆発する. 証明のポイントは熱方程式等の解の爆発の研究で用いられた Zhang 氏によるテスト関数の方法とある種の弱解の導入とを組み合わせたことである. なお, 本講演の主結果は若杉勇太氏 (阪大) との共同研究に基づく内容である.

　平均曲率流の解の存在については, 1978年の Brakke による弱解 (Brakke の平均曲率流) の存在の結果が有名である. 本講演では, 移流項付き平均曲率流の Brakke の意味での弱解の存在について述べる. 弱解の構成は, Phase field 法と呼ばれる Allen-Cahn 方程式の解の特異極限を用いて曲面を近似する方法を採用する. また, 解の構成に必要な幾何学的測度論と, 重要な評価である単調性公式についても紹介したい. 尚, 本講演は北海道大学の利根川吉廣氏との共同研究に基づく.

　We will talk about the time global wellposedness in L^p for the Chern-Simons-Dirac equation in 1 dimension. We apply the standard iteration arguments to obtain the time local solution. We derive some a priori estimates to extend it to the global time. For the critical case in L¹, we need to deny the possibility of the mass concentration phenomena of the solutions. This is a joint work with Takayoshi Ogawa (Tohoku university).

　In multi-connected domains, it is still an open question whether there does exist a solution of the stationary Navier-Stoeks equations with the inhomogeneous boundary data whose total flux is zero. The relation between the nonlinear structure of the equations and the topological invariance of the domain plays an important role for the solvability of this problem. We prove that if the harmonic part of solenoidal extensions of the given boundary data associated with the second Betti number of the domain is orthogonal to non-trivial solutions of the Euler equations, then there exists a solution for any viscosity constant. The relation between Leary's inequality and the topological type of the domain is also clarified. This talk is based on the joint work with Prof. Taku Yanagisawa at Nara Women University.

　非線形問題への応用を念頭におき，滑らかさに関してなるべく弱い仮定の下で電磁ポテンシャルをもつ Schrödinger 方程式の局所平滑化効果を示す. その応用として空間2次元における Maxwell-Schrödinger 方程式のエネルギー空間における適切性を証明する．

　時間に依存するポテンシャル付きシュレディンガー方程式の初期値問題について, モジュレーション空間の枠組みで, その解に関する評価を与える. 既存の研究では, 自由粒子または調和振動子のシュレディンガー方程式の場合の結果が知られているが, 本講演では２次または劣２次のポテンシャルの場合を考える. この講演は東京理科大学の加藤圭一氏, 山形大学の小林政晴氏との共同研究に基づくものである.

　エネルギー臨界非線形シュレディンガー方程式に対する散乱問題について, これまでに発展してきた手法; 未解決である空間3,4次元の引力型の場合の難しさ; 及び, エネルギー劣臨界の摂動を加えた場合の結果 (Slim Ibrahim 氏, 菊池弘明氏, 名和範人氏との共同研究), を紹介する.

　We consider the global existence of L² solutions for the 1D Zakharov equations with additive noise. The 1D Zakharov equations with additive noise are proposed to model the Langmuir turbulence in the ionosphere. We employ the argument by Colliander, Holmer and Tzirakis to prove the global existence of solutions for the Cauchy problem with Schrödinger part in L² and wave part in Ḣ ^−1/2.

　Considering viscous (scalar) conservation laws, there is a strong connection between decay estimates and uniqueness of the zero-viscosity limit (to the hyperbolic nonlinear solution). In fact, in the case of convex flux, the Oleinik entropy condition is actually a decay estimate. The talk will consist of two parts:
　(i) Decay estimates in the multi-dimensional case (even with boundaries).
　(ii) Decay estimates in the one-dimensional case, where some "classical" estimates are revisited and open problems remain in the nonconvex case.