二階共変微分について

#幾何 #幾何解析

二階共変微分について説明する．

定義

Riemann多様体$X$と接束$TX$のLevi-Civita接続$D$を考えよう． Levi-Civita接続は余接束$T^{\ast}X$に接続$D^{\ast}$を誘導する． また，$X$上のHermiteベクトル束$E$とその計量接続$\nabla = \nabla_A$が与えられたとき，$\nabla$と$D^{\ast}$は$T^{\ast} \otimes E$の接続$D^{\ast} \otimes \nabla$を誘導する． このとき，$\nabla$と$(D^{\ast} \otimes \nabla)$の合成 [ \Gamma(E) \xrightarrow{\nabla} \Gamma(T^{\ast}X \otimes E) \xrightarrow{D^{\ast} \otimes \nabla} \Gamma(T^{\ast}X \otimes T^{\ast}X \otimes E) ] を二階共変微分と呼ぶ． 簡単のため，切断$s \in \Gamma(E)$に対して， [ \nabla^2 s := \big( (D^{\ast} \otimes \nabla) \circ \nabla \big) s ] と書く．

さて，$X,Y \in \Gamma(TX)$に対して， [ (\nabla^2 s)(X,Y) = \nabla_X (\nabla_Y s) - \nabla_{\nabla_X Y} s ] であることを示そう． 縮約を$c$で表す． 例えば，$c (\nabla s \otimes Y) = \nabla_Y s$である． まず，計量接続の共変微分と縮約は可換なので， [ \nabla_X (\nabla_Y s) = \nabla_X \big( c(\nabla s \otimes Y) \big) = c \big( \nabla_X (\nabla s \otimes Y) \big) ] である． 次に，$\nabla_X$のLeibnitz則より， [ \nabla_X (\nabla s \otimes Y) = (\nabla_X (\nabla s)) \otimes Y + (\nabla s) \otimes (\nabla_X Y) ] である． さらに， [ c \big( (\nabla_X (\nabla s)) \otimes Y + (\nabla s) \otimes (\nabla_X Y) \big) = (\nabla^2 s)(X,Y) + \nabla_{\nabla_X Y} s ] である． よって， [ \nabla_X (\nabla_Y s) = (\nabla^2 s)(X,Y) + \nabla_{\nabla_X Y} s ] を得る．

注意

縮約について

$\nabla_X (\nabla_Y s) = c \big( \nabla(\nabla_Y s) \otimes X \big)$だが，ここの$c$と$\nabla$は交換できないことに注意せよ． 実際， [ \nabla(\nabla_Y s) \otimes X = \nabla \big( (\nabla_Y s) \otimes X \big) -(\nabla_Y s) \otimes (\nabla X) \big) ] だが，そもそも$(\nabla_Y s) \otimes X$には縮約する場所がない．

逐次共変微分について

一般に，$\nabla_X (\nabla_Y s) \ne (\nabla^2 s)(X,Y)$であることに注意せよ． $\nabla_X (\nabla_Y s)$は$Y$についてテンソル的ではない． 実際，$f \in C^{\infty}(X)$に対して， [ \nabla_X (\nabla_{fY} s) = \nabla_X (f \nabla_Y s) = (Xf) (\nabla_Y s) + f \big( \nabla_X(\nabla_Y s) \big) ] であり，確かに$Y$についてテンソル的ではない． ところが， [ \nabla_{\nabla_X fY} s = \nabla_{(Xf)Y + f\nabla_X Y} s = (Xf) (\nabla_Y s) + f \big( \nabla_{\nabla_X Y} s \big) ] なので， [ (\nabla^2 s)(X,fY) = \big( (Xf) (\nabla_Y s) + f \big( \nabla_X(\nabla_Y s) \big) \big) - \big( (Xf) (\nabla_Y s) + f \big( \nabla_{\nabla_X Y} s \big) \big) = f \big( (\nabla^2 s)(X,Y) \big) ] を得る． すなわち，$(\nabla^2 s)(X,Y)$は，$X$については明らかにテンソル的であるが，$Y$についてもテンソル的である．

二階共変微分と曲率

最後に，二階共変微分と曲率の関係を説明する． $X,Y \in \Gamma(TX)$とする． $\nabla^2 s$についての上の計算より， [ (\nabla^2 s)(X,Y) - (\nabla^2 s)(Y,X) = \nabla_X(\nabla_Y s) - \nabla_Y(\nabla_X s) - \big( \nabla_{\nabla_X Y} s - \nabla_{\nabla_Y X} s \big) ] である． また，Levi-Civita接続はtorsion-freeなので，$\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]$だから， [ \nabla_{\nabla_X Y} s - \nabla_{\nabla_Y X} s = \nabla_{[X,Y]} s ] である． よって， [ (\nabla^2 s)(X,Y) - (\nabla^2 s)(Y,X) = \nabla_X(\nabla_Y s) - \nabla_Y(\nabla_X s) - \nabla_{[X,Y]} s = F_A(X,Y) s ] を得る．

参考文献