Tinbergenの四つの問いは，説明の座標軸として数学でも参考になるのではないか． 「歴史の流れ」と「現代数学の分野での位置」の二つの座標で整理する．
- 正確な主張は何か？どのように証明されるのか？
- 誰がいつどういう経緯で発見したのか？その後はどのように発展したのか？
- 現代数学ではどのような分野に属しているのか？その分野の中ではどのような位置づけなのか？
- 現代数学を広く見渡したときの（主観的な）重要性を位置づけるとどうなるか？
例：Bott周期性
Bott周期性とは，無限次元ユニタリ群$U$のホモトピー群が$\pi_{2j}(U) = 0$かつ$\pi_{2j+1}(U) = \mathbb{Z}$のように周期性を持つことであり，系として分類空間の無限ループ空間としての構造$\mathbb{Z} \times BU \simeq \Omega^2(\mathbb{Z} \times BU)$が従う． 直交群やシンプレクティック群についても同様の主張がある． その証明は，Morse理論によるもの・族の指数を用いたもの・代数的位相幾何によるものなど，様々な方法がある． 対称空間のMorse理論の研究の中でBottによって1957年に発見され，1960年頃にAtiyah-Hirzebruchによって位相的K理論の構築に用いられた． また，1967年にAtiyahによって族の指数の観点からの別証明が与えられた． Bott周期性は，位相的K理論を一般コホモロジーとして展開するための根幹であり，指数定理の証明や族の指数そのものの基礎でもある． 現代幾何の最重要定理の一つであろう．
参考になるもの
- 長谷川眞理子 生き物をめぐる4つの「なぜ」
- 長谷川眞理子 行動生物学のカッティングエッジ