積分記号下の微分について

#幾何解析 #初等解析

積分記号下の微分は二重極限の交換である． しかし，恐れるなかれ，積分と微分の順序交換そのものは怖くはない． 結局，いつでもヤバいのは広義積分だ．

基本の考え方

基本的には，$\partial f / \partial t$が可積分であれば，積分記号下の微分は全く問題なくできる． これはLebesgueの収束定理からも理解できるが，微分積分学の基本定理とFubiniの定理の組み合わせから見るのもわかりやすい．

まずは微分積分学の基本定理で，微分してから積分することで， [ \frac{d}{dt} \int_X f(x,t) \,dx = \frac{d}{dt} \int_X \left( \int_0^t \frac{\partial f}{\partial s}(x,s) \,ds \right) \,dx ] と書き換える． 次にFubiniの定理で，積分順序を交換すれば， [ \frac{d}{dt} \int_X \left( \int_0^t \frac{\partial f}{\partial s}(x,s) \,ds \right) \,dx = \frac{d}{dt} \int_0^t \left( \int_X \frac{\partial f}{\partial s}(x,s) \,dx \right) \,ds ] と書き換わる． こうして， [ \frac{d}{dt} \int_X f(x,t) \,dx = \frac{d}{dt} \int_0^t \left( \int_X \frac{\partial f}{\partial s}(x,s) \,dx \right) \,ds = \int_X \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) \,dx ] がわかった． 要するに，$\partial f / \partial t$が可積分であればFubiniの定理が使えるので，積分記号下の微分は正当化される．

危険な場合

Laurent Schwartzの「物理数学の方法」の第1章3.2節とその後の例を見よ．

振動積分（最終的にはOKな場合）

振動積分 [ F(x) := \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{itx}}{1+t^2} \,dt ] を考えてみよ． 函数$\tfrac{t}{1+t^2}$は可積分ではない！ しかし，$x \ne 0$で$\tfrac{it e^{itx} }{1+t^2}$は広義積分可能であり，また，$F(x)$の積分記号化の微分も正当化できる． 実際，$F(x) = \pi e^{-|x|}$である．

振動積分（最終的にもダメな場合）

振動積分 [ \int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x} \,dx = \frac{\pi}{2} ] を考えてみる． 変数変換$x = ty$により， [ \int_0^{\infty} \frac{\sin (ty)}{y} \,dy = \frac{\pi}{2} ] と書き換える． このとき，積分記号化の微分ができるとすれば， [ \int_0^{\infty} \frac{\partial}{\partial t} \frac{\sin (ty)}{y} \,dy = \int_0^{\infty} \cos (ty) \,dy \overset{?}{=} 0 ] だが，左辺は広義積分できない！

寺寛のp.80の第3.6節の例も参照のこと． 一様収束の必要性が鮮やかに説明されておりわかりやすい． すなわち，$t \in \mathbb{R}$に対して，函数 [ t \mapsto \int_0^{\infty} \frac{\sin t x}{x} \,dx ] はそもそも$t=0$で連続ではない． というのも， [ \int_0^{\infty} \frac{\sin tx}{x} \,dx = \int_0^u \frac{\sin tx}{x} \,dx + \int_u^{\infty} \frac{\sin tx}{x} \,dx ] と分解するとき，第一項は有限区間$[0,u]$での積分なので$t=0$でも連続で，さらに，第二項は，もちろん，$t \in \mathbb{R}$を固定するとき， [ \lim_{u \to \infty} \int_u^{\infty} \frac{\sin tx}{x} \,dx = 0 ] なのだが，そのゼロへの収束の速さが$u \to \infty$のときにどんどん遅くなってしまうからだ．

Newtonポテンシャル

Newtonポテンシャル [ U(a) := \int_{|x| \le 1} \frac{\mu(x)}{|x-a|} \,dx ] の一階微分をどのように計算したか考えてみよ．