表現論(2004年度後期)(４年生・大学院生向け)
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CD
=(cash dispenser, compact disk,) Chunichi Dragons, course design, cafe David,...など、
このあたりの方言。
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10/04. (1) 講義案内の配布と説明。
(2) overview.
群、表現、作用、部分表現、商表現、指標。
例は、対称群、一般線形群、ax+b 群。
(3) アンケート。
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10/18. １限と２限。
(1) 前回の補足（群準同型）
(2) 一般線形群 GL(n, R), GL(n,C), GL(V) の続き、表現行列など。
(3) 直交群 O(n)、まず標準的な内積の場合、
コンパクト、連結成分、SO(n)。
(4) 一般の内積の直交群、involution の固定部分群、
不定値の直交群。
(5) 参考文献を挙げた。
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11/08. １限と２限。
(1) 古典群再論、
Lorentz 群、PSL,
unitary群,
(2) unitary representation.
直交補空間、同値、intertwining operator,
unitary 化、Haar 測度。文献を挙げる。
(3) Hilbert の第５問題（位相群とLie 群）、
単純群、単純Lie 環、分類とDynkin 図形,
symplectic group.
(4) abel 群の表現。
有限アーベル群、有限生成アーベル群の基本定理、
１次元表現と１次元unitary 表現の分類
(Z, Z/nZ, R, S1),
duality.
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11/15.１限と２限。
(0) 質問への解答。
(1) Schur の補題から。
(2) アーベル群の表現、再論。
Pontrjagin 双対性。
(3) その他の双対性(Tannaka)、アーベル多様体、
他の局所体、Langlandsなどについて言及。
(4) Lie 環の定義。
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11/29. １限と２限
(0) 質問への解答。
(1) Lie 環の２つの代表的な例。
(2) SL, O(n) のLie 環の計算。次元、
accidental isomorphism を示唆。
(3) 準同型。表現の微分。対称テンソル（２次）。
(4) 作用、関数空間。
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12/6. １限と２限
(0) 質問への解答。
(1) 表現の微分の続き。
(2) CP1上のSL(2) の作用、表現、
その微分、表現空間(Laurent polynomials).
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12/13. ２限。
(0) 質問への解答（単純環と単純Lie 環再論、Dynkin 図形など)
(1) 前回の続き、line bundle つき。
表現の構成、weight, 昇降演算子。
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12/20. ２限。
(1) Singular vector, 既約性、有限次元既約表現。
Borel-Weil picture.
(2)
指標。上で構成したSL(2) の有限次元既約表現で。
Weyl の形とKazhdan-Lusztig の形。
指標の計算の意味。
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1/17. ２限。
(1) 津波に関して, 数理学的な補足。
(2) 巡回群の指標表。
直交関係や個数などの観察。
(3) ３次の対称群の指標表の作成開始。
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1/24. ２限。
(1) ３次の対称群の指標表。
(2) 商表現と指標。
(3) ４次の対称群の指標表。共役類と分割。
(4) テンソル積の３側面、テンソル積表現と指標。
(5) Grothendieck 群とその環構造には言及できず。
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1/31(最終回). ２限。
(1) 質問に対する回答。文献の追加。
(2) 表現の指標による既約性の判定。
(3) 行列要素。直交関係。
(4) 指標の直交関係。類関数の正規直交基底。共役類の個数と既約表現の個数。
(5) 講義全体の簡単なまとめ。
(6) 教務委員会による講義アンケート。
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単位：望ましい順に
(a)レポート提出（表現論に関係する自主研究）。
(b)講義中に出題した問題を解いてまとめたレポートの提出。
(c)出席＋講義ノート提出。
のいずれか。
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提出期限：
(M2) 1/31.
(4年生) 2/14.
(M1) 3/7.
それぞれ成績報告期限には数日の余裕があるので、
若干の遅れには対応できますが、その際には、
遅れて提出する旨の連絡をしてください。
提出場所：数理事務室（理１号館１階）、または私の研究室に私がいるとき。
なお、M1 は上記の提出物(a,b,c)以外に、研究科の教務が
要求している「講義結果報告」を
提出しないと講義担当者(＝私)が単位を出すことができませんので
お忘れなく。
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講義の形態：
補講は１限に行い、その場合、１・２限の講義となる。
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オフィスアワーは講義後の12:00-13:00に
理１号館２階リフレッシュスペース（通称Hilbert空間)
で行います。
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初回に、出席者リストの作成と、
受講者の予備知識などを知るためのアンケートをしました。
なお、できばえは成績には関係ありません。
また、これらの内容を知らなくても講義の内容を理解するのに
心配はありません。
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