$\mathop{\mathfrak {su}}\nolimits (1,1)-\lambda$ coherent 状態族

$\mathop{\mathfrak {su}}\nolimits (1,1)-\lambda$ coherent 状態族を $n$ 次テンソル積拡大した状態族 ${\cal S}_{\lambda}^{\otimes n}:= \{ \rho ^{\otimes n} \in {\cal S}(\mathbb {C}^{n+1}) \vert \rho \in {\cal S}_{\lambda}\}$ の推定問題を考える. この状態族は先にも述べたように $\mathop{\mathfrak {su}}\nolimits (1,1)-n\lambda$ coherent 状態族になる. このとき,群作用に関して不変な risk 関数 $W(\zeta,\hat\zeta)$ は, 量子類似度 $A(\rho_{\lambda,\zeta}\Vert\rho_{\lambda,\hat\zeta})$ の関数として書ける. このとき以下の定理を得る[18].

定理 4   risk 関数 $W(\zeta,\hat\zeta)$ が量子類似度 $A(\rho_{\lambda,\zeta},\rho_{\lambda,\hat\zeta})$ の 単調増加関数であれば, 以下に定義する POVM が minimax 解になる. ただし,以下の POVM が最適解になるのは $n \lambda \,> 1$ のときに限る. $n \lambda \le 1$ のときについては以下のものは POVM にすらならない.

$$M_n(\,d \hat\alpha) := \frac{\lambda - 1}{\pi} \rho_{-\lambda,\hat\zeta}^{\otimes n} \,d^2 \hat\zeta.$$

この POVM $M_n$ に対応する測定を実現するための枠組みは[15] で議論されている. 以下この最適な POVM の下での個々の量を risk として用いた場合の 誤差の値を記す.

$${\cal D}^{A}_{\rho_{- \lambda}^{\otimes n}}(M_n) = \frac{4\lambda}{\lambda n- 1} \cong \frac{4}{n} + \frac{4}{\lambda n^2}$$

$${\cal D}^{d_b^2}_{\rho_{- \lambda}^{\otimes n}}(M_n) = \frac{2\lambda}{2\lambda n- 2 +\lambda}\cong \frac{1}{n} - \left( \frac{1}{2}- \frac{1}{\lambda}\right)\frac{1}{n^2}$$

$${\cal D}^{1- F}_{\rho_{- \lambda}^{\otimes n}}(M_n) = 1- \frac{\lambda n-1}{\lambda (n+1)-1} \cong \frac{1}{n} - \left( 1 - \frac{1}{\lambda}\right)\frac{1}{n^2}$$

$${\cal D}^{d_r^2}_{\rho_{- \lambda}^{\otimes n}}(M_n) \cong \frac{4}{n}+ \frac{16}{3\lambda}\frac{1}{n^2}$$

$$P^{M_n}_{\rho_{- \lambda}^{\otimes n}} \{ A (\rho_{- \lambda} \Vert \hat\rho_{- \lambda}) \ge \epsilon\} = \exp\left(- \frac{1}{4}\epsilon \left(n- \frac{1}{\lambda}\right)\right).$$

参考までに最適な POVM を用いたときにできる 確率分布族 $\{ P^{M_n}_{\rho_{-\lambda,\zeta}^{\otimes n}}\vert \zeta \in \mathbb {C}\}$ について Kullback-Leibler の divergence を計算する. $A (\rho_{-\lambda,\zeta} \Vert \rho_{-\lambda,\zeta'}) =\epsilon$ であるとき,

$$\frac{1}{n}D( P^{M_n}_{\rho_{-\lambda,\zeta}^{\otimes n}}\Vert P^{M_n}_{\rho_{-\lambda,\zeta'}^{\otimes n}}) = \frac{1}{4}\epsilon$$

となる. したがって $\frac{1}{4}$ は確率分布族 $\{ P^{M_1}_{\rho_{- \lambda}}\vert \rho \in {\cal S}_{- \lambda}\}$ の Fisher 情報量を表していると考えることができ, spin $\frac{1}{2}$ のときと同様に 一次の項に注目する限り「量子相関を用いる推定」と 「量子相関を用いない非適応的な推定」との間には差が生じない. しかし,より高次の評価を行うと差が出ると思われる. なお,他の risk 関数を用いても同様の結論が得られる.

次に裾確率についての両者の差に注目する.これについては Kullback-Leibler の divergence が 最適解の裾確率の減少率と一致するので, spin $\frac{1}{2}$ のときと同様の結論を下すことはできない. Kullback-Leibler の divergence の他に, 類似度の注目する方法なども考えることができる. その他, boson の場合と同様に今導いた 最適測定の許容性については未解決である.