名古屋三年目の微積分である。これが、毎年続くのであろうか。 進歩の余地、ありやなしや、この齢にして。
進度予定表 と 講義ノート と 演習ノート を道の糧に、いざ進まん。
最初に、宿題の扱いについて記録しておく。
毎週の授業の中で、復習のための問題を１−２問指示するので、次の週の月曜夕方までに、
レポートにまとめて提出すると、それの点検結果が解答例とともに次回授業開始時に返却される。
なお、これは、復習の手助けのために行うものであって、授業の成績には反映しない。
本日の内容は、微分計算の復習と関数の増大度のスピード比較。宿題は、問１４と問１５。
[TA からのコメント]
問14はまったくできていない人もいました。
できなかった方はp.5の例をたどりながらもう一度解いてみてください。
問15（1）はよくできていました。
（3）の$\displaystyle \lim_{x \to +0} x \log{x}$ は $x=\frac{1}{t}$ の置換を考えてみてください。
by 浅井
今日は、朝からシトシト雨。絶好の勉強日和？
逆三角関数の微分と積分が主な内容でした。
逆関数については、高校でもすることになっているのですが、今ひとつよく分かっていなかったりします。
$\log e^x = x$ はすぐ分かっても、$a = e^{\log a}$ の方がなかなか思い浮かばなかったり。
逆三角関数が重要というよりも、逆関数の扱いをよりよく理解するための材料と思うのが良いかも知れません。
宿題は、問１９と問２０。レポートの期限は、５月７日（月）夕刻です。
重要な注意です。講義ノートですが、このページからリンクが張ってある資料（日付が２０１２年４月１０日）のものをお使いください。
昨年度の資料だと、問題番号がずれています（問２０，問２１になってます）。
[TA からのコメント]
問19はみなさん非常に良く出来ています。
問20は（3）から先に解いている方も多くいました。
（2）は逆関数の微分と考えて解くと計算が簡単です。
（2）→（3）の順に解くと $g(y) = \int g'(y) dy$ として求められますが、
この原始関数を積分で求めるのは大変です。(cf 例1.3.)
直接 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ を変形してみましょう。
by 浅井
連休明けの５月１０日に、１回目の試験があります。
北関東の竜巻被害があったこともあり、名古屋でも注意報が出ていたようですが、 比較的穏やかな一日だったような。 今日は、宿題の解説をTAの浅井がして、その後、授業中間アンケート、 試験１をしました。
[試験の講評]
$\fbox{1}$ ですが、２つの関数 $f(x)$, $g(x)$ の増大度の大小は、比 $f(x)/g(x)$ の振る舞いについてのものです。
ということで、
\[
\log \frac{f(x)}{g(x)} = \log f(x) - \log g(x)
\]
を調べるというのが、今の場合の基本方針です。非常に多くの方が、
\[
\frac{\log f(x)}{\log g(x)}
\]
を調べていました。これと上の比の対数とどう関係するかは、明らかではありません。
というか、一般に、前者の方が、後者よりも強い情報を与えてくれます。
例：
\[
\log f(x) = x^2 + ax, \quad \log g(x) = x^2 + bx
\]
とすると、$\log f(x) - \log g(x) = (a-b)x$ の様子は、$a, b$ の大小に依存しますが、
$(\log f(x))/(\log g(x))$ の方は、$1$ に近づきます。
対偶的な使い方として
（昨年度の授業日誌の該当部分参照）、後者の方で増大度の違いが検出できれば、それが前者の増大度に違いにつながる
ということは正しいのですが、証明を要することです。
何となく計算してみて結論を下す、というのはとても危険です。
あと、授業で解説した公式を使おうとせず、初めから議論をしていた人も結構いました。
ここでは、既知の結果を利用するという態度で臨みます。
それがうまくいかないと分かったときに初めてもとの証明方法なりに立ち戻って考えてみます。
$\fbox{2}$ の方は、比較的良く出来ていたと思います。
それでも、何人かは、計算間違いをしたり、関数のグラフが書けなかったりと、
色々問題点が目につきました。復習等、早めの対策を講じておいてください。
試験結果については、採点その他が終わり次第掲示の予定です。
積分の意味と計算、数と量の関係、単位の有無。宿題は、問２９，３０、締切は、２１日（月）。
[TA からのコメント]
問29は $I_n = \int x^n e^{-x} dx$ の漸化式までたどり着けた方は多かったですが、
この漸化式を解ききっている人は少なかったです。両辺を $n!$ で割ってみましょう。
問30はとてもよくできていました。
後半の幾何的意味を求められているところですが、
$\sqrt{a^2-x^2}$ の形からすぐ円を思い浮かべられたかどうかができを左右したと思います。
by 浅井
授業アンケートでは、多くのコメントをいただきました。すべてにお答えできませんが、
少し書いておきます。
予想されたことではありますが、問題の答え（それもできるだけ詳しいもの）を欲しいという声が複数ありました。
これについては、授業の最初でも説明したように、苦しくとも自らの手で正否を確認する、といった意識がとても大事で、
できるだけ早くそういった状態になっていただきたい、という意図によるものです。
大学卒業後、皆さんに求められるのはそういう部分だと思うからです。
（答えが、それも詳細なものがわかっている案件など処置する必要はない。）
ただ、問題によっては、あるいは予備知識・経験の多寡によっては、困難を感じることもあるでしょう。
その場合は、できるだけ不明点を具体的に自覚した上で、オフィスアワーの時間なりに質問されますよう。
なお、参考書として挙げた演習書は、それに近い内容になっているはずです。
マイクが切れることがある、とは気づきませんでした。切れたその場でご指摘いただければ、と思います。
板書が見にくいようであれば、前の方の席が空いております。そちらをご使用ください。
宿題が少ない、という声もありました。基本的に問題練習は自ら設定してください。
どの問題を解くべきかは、人によって違ってきます。基本が身についていないと感じたら、講義ノート以前の内容の復習をしますし、
一目で解けそうな問題は省いて結構です。時間は限られているので。その時々で、自分に最もあった経験が積めるよう心がけます。
選択の主役は自分であるという自覚が大事、ということでもあります。
そうはいっても人は楽を好むもの、最低限のペースメーカーとして宿題を課しております。
レポートの点検作業は、大学院生が自分の研究の合間を縫っておこなっている関係で、その量には限界があるという点は、
ご理解ください。
ひとり言：試験が難しかったというが、過去問見てないのかなあ。 まあ、去年と同程度の出来ではあるのだが、去年は過去問がなかった訳だし。 午後の体育のあとにこういう授業を入れるか！、という話は何度か出ているのだが、どうもならないらしい。 ブツブツ。
今日は汗ばむ陽気、まだまだこんなもんではない名古屋の暑さかな。
最後の方で説明した置き換えの技法は、少うし早足だったかも知れません。 まあしかし、必要になったときに振り返ればよいような内容でもあり、話す方の気分も多分にありました。
来週は、はやくも２回目の試験です。授業で取り上げた例、宿題の問題、それと去年の試験問題といったあたりをよーく見て おかれますよう。
宿題は、問３１，問３５でした。
[TA からのコメント]
問31ですが解けている人は多かったです。
ただ、$\int \frac{1}{1+x^2}dx$ から $\arctan x$ が出てきていなかった方もいました。
大学での新たな微分積分公式は頭に入れておきましょう。
また、1人もいませんでしたが実は直前に$\int \frac{1}{x^3+1}dx$があり、
これに$t=-x$の置換を考えると答えはたやすく求まります。
問35は完答出来ていた人は非常に少なかったです。
直前の式をそのまま使うことで$\int \frac{1}{y}dx$となるのでさほど難しくはないのですが。。。
by 浅井
今日は、TA による宿題の解説の後、 めでたくも２回目の試験をしました。
[試験の講評]
去年の問題よりも易しかったせいか、満点はかなりの数になりましたが、対処がうまくいかなかった人もそれなりにいました。
総じて、説明の書き方に難がある方が多いようです。これは、極めて大事な点です。常に意識して説明力の向上を心がけてください。
$\fbox{1}$ (i) で説明がまったく足りないもの複数。(ii) で
$\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$ を間違えるもの多し。単純計算の問題であるから、符号の間違いも厳しめにチェック。
$\fbox{2}$ で、部分分数分解の稽古を全くしていなかったと思われるもの少なからず。
こちらは、アルゴリズムを理解しているかの確認が目的ゆえ、多少の計算ミスは大目に。
来週は、大学祭の準備やらで授業はありませんが、 学習相談日とします。午後１：３０−３：００の間に理A３４９へどうぞ。
この時間で、一人でも二人でも、と思っていたのだが、やはり待ち人来たらず。
今年もめぐりめぐりて、明日は６月９日。人は変わりようがないということか。
もはや、よきもの良きことのみを見て、人のふりは見ずとも。己がそれほどの値あるものと思し召しか、身の丈知らずや。
今を相手にせず、我が身亡き後にこそ。
授業再開です。今日は、晴れてはいましたが、風もあり、まずまずといったところ。
一次と二次の近似式を説明しました。一次近似式の方は、既に知っているべき内容ではあるのですが、 まあ、練習しておきましょう。二次近似式は積分を使って導きました。 ２次の項が、一次近似式の誤差項と思って大体良いのですが、積分を使って着実に評価してみました。 この積分を使った不等式は基本なのですが、慣れていない人が多かったようで、質問されてしまいました。 \[ f(x) \leq g(x) \Longrightarrow \int_a^b f(x)\, dx \leq \int_a^b g(x)\, dx \] \[ -|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)| \Longrightarrow - \int_a^b |f(x)|\, dx \leq \int_a^b f(x)\, dx \leq \int_a^b |f(x)|\, dx \Longrightarrow \left|\int_a^b f(x)\, dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\, dx \] といった類のことなので、「明らか」なこと、説明するまでもないと思っていたのですが、 どうも、そうではなかったようです。 積分を使って具体的な不等式を導く稽古を入れておくべきでしたか。
２次近似式と極大・極小の判定、これも簡単なことながら重要。
レポート問題は、問３７・３８です。
[TA からのコメント]
問３７は $x$ : 求めたい点、$a$ : わかりやすい点 ということに意識を置いてください。
問３８は無限大への評価はできていましたが、途中で一度開き具合が大きくなる記述はあまり見られませんでした。
by 浅井
試験２の結果を掲示しておきました。確認しておいてください。 疑問点があれば、ご連絡ください。
今日は、エアコンの試運転がありました。こういうのを大人の知恵というのでしょうか。 杓子定規でないところ、私の最も好むところでもあります。山紫陽花の花のつつましさかな。
前回の２次の近似式を受けて、$n$ 次の近似式を説明しました、証明もしました。 ついでの、誤差の評価と併せて、オーダー記号も導入しました。説明が足りないところは、授業の資料などで補ってください。 話を聞いただけで１００％わかろうとしてはいけません。そういったことは１００％の秀才だけが可能です。 それ以外の人は、私も含めてまねしてはいけません。具体例を通してわかる範囲を広げていくことです。
大分、アドリブをきかせすぎました。反省。しかし、そろそろ分かって欲しい。全てがわかるようにゆっくり丁寧にやることは、 時には、不親切であることを。時には、飛び出す勇気というか、若いからこその跳躍というのか、そういった経験もと願っております。 今しかできないことは何かに思い致されますよう。
宿題は、問５３，問５７です。その前に、今日の具体例を復習しますか。
[TA からのコメント]
Taylor展開はよくできていましたが、多項式の形まで持っていかず、
$\cos x$ のままであるものも見受けられました。
各分野で非常によく出てくるものだと思いますので、不安な方は復習を心がけてください。
問５７では$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4+...$としてあるものが多くありましたが
等比級数の和が収束するのは公比の絶対値が１未満であることを確認してください。
by 浅井
薄曇りなれど気温さほどならず、夏への一里塚。
さあ、この授業も最後の追い込みだ。と、同時に真に新しい話であろうか。 繰り返しを気にせずにいう。わけのわからない状況に立ち至った時の行動だ。 そのための大学だ、安くない投資だ。身を震わせて受け取るべし。 愚痴は、その後。
次回は試験、三度目の正直なるか。自らの可能性を確認する３週間と心得るべき。
宿題、問５８、問６２。
[TA からのコメント]
Taylor 展開は値を代入するだけのものでは無いと確認して欲しいです。
高校時からやってきた接線の方程式（いわゆる1次近似）の高次版のように使ってください。
また、$\frac{1}{1+a}$の形からはすぐ無限等比級数展開が思いつくようにしておきましょう。
by 浅井
蒸し暑くなりました。梅雨も最後のあがきということでしょうか。
今日は、３回目の試験をしました。
試験終了後に、講義ノートのタイポを指摘していただきました、感謝。 $\log(1+x)$ と $(1+x)^a$ の基本公式の剰余項で積分変数が乱れておりました。 これも含めて修正したものは、最終試験後に更新する予定です。 （途中更新すると、問題番号等にずれが生じる恐れがあるため。）
[試験の講評]
$\fbox{1}$ は、まあまあでしょうか。あるいは、易しい問題の割には、とも言えそうです。
$\fbox{2}$ は、いろいろと問題点が目につきました。
完答者なし。２点ついていても満足しててはいけません。
$y = x^3$ のグラフがきちんと描けない人が多数、極限が存在するとはどういう意味であるか、
が薄ぼんやりしている人、大多数。
$\tan x$ のテーラー展開を導いていない者も多数。
ヒントの出し方に難があったと反省。$\tan x$ のテーラー展開を求め、$y = \tan x - x$ の $x=0$ の付近でのグラフを描け、
とすべきでしたか。
マクローリン展開という用語を使っている人も何人かいました。
これは、用語としては正しいのですが、疑問に思いませんか。
$a=0$ とおいただけの式に別の名前をつけるなんて、馬鹿げていると。
マクローリンさんもさぞかし困惑していることでしょう。
教わったから、本に書いてあるから、それに従うだけ、という思考停止だけは避けたいものです。
予定表にありました７月２４日の補講は、取りやめの雲行きです。
事情については、来週の授業時にでもお伝えいたします。
驚くべき実態は、小回り効かぬ組織の病？
しかし、大証券会社も倒産する世の中、まるで他人ごとの振る舞い、当事者意識のなさ、情けなきかな。
今日は、雨で気温が高い中、エアコンに助けられながらの授業でした。
広義積分自体は、あまりうるさいことを言わなければ通常の積分の延長線上にあるものですが、
収束するか発散するかの判断が新たに付け加わります。
ただ、いわゆる条件収束する場合は意図的に避けました。
広義積分も積分ですから、値を具体的に求めるには試行錯誤がつきまといます。
典型的な例として授業で取り上げたもの以外に、問６６，６７を宿題とします。
来週は、月曜が休みのため、レポートの期限は１７日（火）午前中とします。
試験勉強も兼ねてぜひトライしてみてください。
[TA からのコメント]
$\log{x}$はだいたい$x^{+0}$と同じくらいであるということは覚えておくといろいろ考える上で役に立ちます。
Taylor 展開や上記の性質から被積分関数が多項式近似できるかcheckしてみてください。
そして広義積分はまずなにより収束性の議論から値が存在しているのかを確認しましょう。
なお、今回は非常にレポートの出来はよくありませんでした。厳密な（正確な）議論を心がけてみてください。
by 浅井
授業アンケートもしました。その際に、補講取りやめの経緯を説明するつもりが、 暑さのせいか、忘れてしまいました。来週に先送りします。忘れているようであれば、催促していただければ幸いです。 かなり腹立たしい事情ではあります。
試験の範囲について、少し書いておきます。最後の試験は、９０分全部を使い、４問出します。 うち２問は、今回と次回の中から、残り２問は、過去の試験範囲のうち正答率が悪かったものの中から出します。 詳しいことは、次回にお知らせしたいと思います。 （１回目の$\fbox{1}$と３回目の$\fbox{2}$を復習しておいてください。）
１７日に梅雨が明けましたね。暑い名古屋の夏が始まりました。 本当は、授業とかやめにしたいのですが、そうもいかず、うちわでしのぎつつ。 級数の話。絶対収束とか。あるいは、微妙な収束とか、実例も含めて一通り説明しました。 細かいところよりも全体的な流れに触れていただければよいでしょう。
ということで補講は取りやめ、その代替措置として、 ２４日（火）１３：３０−１５：３０に理A３４９で質問を受け付けることにします。
今日の宿題は問６９。今回は、月曜日１６：３０までにお出しください。
[追記]
風柳、大人の態度なれど、やはり気になるゆえ記す。
問題の解答公表すべきとの強き声あり。繰り返し言いもし、テキストの１ページにも記せるごとく、
敢えて配布せざるなり。なぜに楽を求める。
問う、本文の説明、例題の解説を三度は見直しせざりしかと。
何故に分からぬ、若きの労苦の貴なるを。汗かかざるもの、ともに語る能わず。宝暦の故事知らざるや。
かんかん照り、３６度の中、最後の試験をしました。 半分は、事前に問題を明かしたようなものですが、増大度の問題は、わからない人はわからないままでした。
採点が終わりましたので、掲示します。成績の基準は、公表通りです。
（政治的な配慮でSの人数を絞るということはしませんでした。）
疑問点がある場合は、至急ご連絡下さい。
今回で結果を出せなかった人も再試験を受けられる可能性がありますので、
あきらめずに勉強を続けてください。引き続き、オフィスアワー等で相談に応じます。
授業アンケートの自由意見を参考までに記録しておきます。
皆さん、貴重な意見をありがとうございました。
それでは、熱き夏に儚き夢を。