参考資料など:
今日もいきなりの暑さ、10月とも思われません。昨日と同じ今日が明日も続く、などど期待してはいけません。 何でもありの八丁味噌です。
本日のメニューは、
Overview, 関数とグラフ、ガウス積分、分属アンケート
でした。
宿題のルールを書いておきます。
締切は、次の週の火曜日17時。
日頃の勉強のきっかけにするためのもので、提出の有無は成績に関係しない。
今日の宿題は、問1と2です。
平面の方程式は、今後繰り返し出てきます。忘れているようであれば、これを機会に復習しておかれますよう。
[TAからのコメント]
問1は問題の捉え方がひとりひとり違っていました.
授業では $z=f(x,y)$ の形を扱ったので,そこから考えられているとよかったです.
問2はよくできていまし た.
お知らせ
今期は木曜日のお昼に Cafe David にいますので,用事のある方でメールが億劫な方はお越しください.
また,第1回の宿題で見受けられましたが,講義ノートの2011年版を使っている方がいます.
2012年版と少し内容が違っているので,新しいものをご用意ください.
なお,学部生は年間500枚まで,PCルームから 印刷ができます.
by 浅井
すこうし、秋の気分といったところでしょうか。
そうそう、爆発物予告騒ぎがありました。何事もなく過ぎましたが、
見えない世の中の反映でしょうか。
本日のメニュー:
重積分の意味、重積分の性質、くりかえし積分、計算例
でした。普通は、重積分のまえに偏微分をするものですが、あえて逆順にする親心。
今日の宿題は、問5と問6です。
[TAからのコメント]
今回の出来はとてもよかったです。2問とも正解まで辿りつけているものがほと んどでした。
計算自体は高校からの派生で取り組みやすかったのだと思います。 $\int_D f(x,y) dxdy$ という新しい書き方に慣れましょう。
by 浅井
次回は、復習的な解説をしたあと、1回目の試験(45分程度の)です。 試験範囲は狭いので、しっかり復習しておいてください。
秋の前線が通過し、季節は2歩も3歩も前へ。 御嶽山も望めるようになりました。
今日は、TAによる宿題の解説のあと、1回目の試験をしました。
(解答例を追加しておきました。)
[試験の講評]
$\fbox{2}$ は良く出来ていました。それでも、間違えた人は、反省。
一方、$\fbox{1}$ の方は、図を描くのに手こずってたようで、満足できるものはそれ程多くありませんでした。
とくに多かったのが、説明が何もなく、図と思しきスケッチが沢山書いてある答案でした。
また、不定積分の単純な計算ミスもちらほら。
出題の意図は、空間図形を調べる基本が、切り口を考えることであること、
そして切る平面を動かしたときの切り口の変化の様子が大事であると。こういった作業を行えるか、
そしてそれを他人にもわかるように説明できるか、がポイントでした。
できなかった人は「不等式と領域」についての経験が不足しているということなのかも知れません。
復習のための質問です。問題の立体の稜線のうち、直線は何本で曲線は何本でしょうか。
教室の時計についての情報です。
教養教育係で尋ねたところ、
故障した時計は外して、その後の補充はしない、という説明でした。
教室に時計を設置しない場合の問題点を指摘しておきましたが、
これが世の動きなのでしょうか。100円をけちって100万円を損する例えを思い出しました。
上の世代をみて下は育つということに照らして、さてどうしたものか。
朝晩は寒いような、それでも日が照ると上着が必要ないといった一日でした。 これが、できるだけ長く続くと良いのですが、そうもいかないのが日本の四季。 基本的に暑いか寒いかのどっちかのような。
本日のメニュー:
偏微分、偏微分の順序、曲線と運動、鎖則
でした。微分の計算は、比較的形式的なので、少し稽古すればできるようになるはずです。
公式の証明は、安心のためのもので、とりあえず納得できたら、計算練習をしましょう。
宿題は、問15と問20です。
[TAからのコメント] どうしても微分が複数回行われると計算ミスが出てきてしまうようです。
偏微分では今どの変数に注目し、何がやりたいのかを見失わないようにしてください。
by浅井
試験結果を掲示しておきました。
季節は移りて、はや11月。今朝は冷えました。天は清朗に、名残りの秋。
本日のメニュー:
一次近似式、微分とは、等高線・等位面、接平面
でした。先週説明した Chain Rule を利用しましたが、本質的に同じ内容です。
(こちらを先に説明して、それから chain rule を導くことも可能です。)
微分の意味も説明しました。
例えば、「微分の幾何学的意味を説明せよ。」という質問に対して、どのように答えますか。
宿題は、問題22。
[TAからのコメント] 少し複雑な関数を回転させて得られる立体を想像するのは難しいことと思います。
回転した軸に垂直な平面での断面には円が現れることに注目しながら考えられるといいですね。
by浅井
来週は、試験です(説明の問題も入れたいですねえ)。宿題の問題と、授業の中で取り上げた例とかを復習しておいてください。
中間授業アンケートも予定。
若い人達はもっと怒るべき、と思う今日このごろ。
連帯のすべ、ありやなしや。
今日は、穏やかな日といっていいでしょうか、 復習と2回目の試験と中間アンケートでした。
アンケートのコメントに「もっと数学的にきっちりやって欲しい」という意見をいただきました。
そのような意見があることは承知もしており、頼もしい限りですが、これを機会少し説明してみたいと思います。
授業は、常識的ではありますが大多数の益を考えて据えてあります。
ということで不幸な(あるいは幸運な)人たちが必ず生じることになり、個別の応対でやりくりすることになります。
授業が「かったるい」方は、どうか先を歩まれますよう、とくに数学の研究者を目指しているような方は、
授業をはるかかなたに置き去りにして、孤独なランナーといいますか、新雪のシュプールといいますか、
そういうのを満喫されるとよいでしょう。ただ単独行動は、ときには一人よがりに陥ることもありますので、
水曜昼のオフィスアワーとかに気楽に尋ねてみていただければ、多少の道の糧、もてなしなど、できるかと思います。
(実のところ、そういった例外的な人への配慮も、講義ノートではしてあって、
数学的な曖昧さをできるだけ排除することもしようと思えばできるようになっているつもりなのですが、
はてさて、ご不明の点はどうぞお尋ね下さい。)
来週水曜日のオフィスアワーは、不在のため休止といたします。
[試験の講評] $\fbox{1}$ は易しかったようです。ただ、相変わらず説明のほとんどない答案が結構な数ありました。
次回以降は、そういったところが点数に反映されるようにしたいと思います。
$\fbox{2}$ の方は、2点の人が約半数で、これもまずまずといったところ。
ただ、かろうじて2点の人も多かったので、安心していてはいけません。
良い答案もぎりぎりの答案も2点になってしまう悩ましさがあったので、
とくに良いものには、例外的に3点をつけておきました。
今朝は冷え晴れ、御嶽山も大分白くなりました。朝が辛くなる頃でもあり、遅刻者が目立つようにもなりましたが、
本日のメニュー:
置換積分、変数変換、重積分の場合、密度公式など
でした。重積分の変数変換の公式を運用できるかどうかがひとつのポイントですが、その前段でもある、
変数変換、とくに点の動く範囲の対応にご注意下さい。また、公式を理解する上で、行列式の幾何学的意味が大事です。
前期の線型代数で習ったはずですが、忘れているようであれば復習しておかれますよう。
ここ
にも説明があります。
宿題は、問29,問30。
[TAからのコメント] スペースの都合上解答にQRコードが混ざっていて申し訳ありません。内容は以下です。
目立つミスは計算ミスがほとんどで、全体的に良く出来ていました。
問30.では平行四辺形を座標平面で表すことが出来ていないものもありました。
直線の方程式なりベクトルなりは自由ですが、自分で表すことのできるようにしておくといいですね。
by浅井
カレンダーも残すところ、あと一枚。おだやかに冬支度。
本日のメニュー:
密度公式ふたたび、逆変換とヤコビアン、問題の作り方、合成写像の微分
でした。直観とロジック、それを支える計算。
当初は、微分作用素の変数変換について説明する予定でしたが、定義とその練習だけで終わりそうなため、
微分の意味=線型近似、と逆変換のヤコビアンが逆数になること、それと重積分の変数変換の
計算問題の作り方、に変更しました。
来週は、都合により休講(オフィスアワーもなし)で、その次の週12月14日は3回目の試験です。
準備期間は長く、試験範囲は短く、といったところ。
宿題は、「問題を作る問題」、おいしい試験対策。
不等式 $1 \leq xy \leq 2$, $1 \leq y/x \leq 2$で表される領域 $D$ 上の重積分を計算する問題を作れ。
[TAからのコメント] 問題を作れ ということで様々な解答がありましたが
一番多かったものは$\int_D e^{xy+\frac{y}{x}} \frac{2y}{x} dxdy$でした。
作って解いてあるものは少なかったように思います。
条件を満たす$x,y$の組は第1象限だけでなく第3象限にもあることに注意が必要ですね(テスト前解説、先生のコメントより)
by浅井
寒い日が続いてましたが一息、といったところで師走も半ば。
浅井先生の解説の後、3回目の試験をしました。
[試験の講評]
$\boxed{1}$ (ii) で $\lim_{t \to +0} t^3\log t$ の説明のない人、
あるいは説明はあっても $-\infty$ に発散すると間違った結論を下す人がかなりいました。
非常に悩ましかったのですが、今回は(今回も?)、この部分での大幅原点を避けました。
結果として2点の人が多数を占める結果になりましたが、
身に覚えある方は、再度の復習をしておいて下さい。
$\boxed{2}$ こちらも、去年の問題の類似だったせいか、皆さん大体のところは越えていたようです。
ただ、
\[
dxdy = \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| du dv
\]
という公式を書き下さずに、
\[
dxdy = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} du dv
\]
という絶対値を忘れた式で計算する人が続出(1−2名を除いて全て)でした。
さらにまた、うろ覚えなのか、あるいは暗算のミスなのか、
\[
dxdy = \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} du dv
\]
といった大間違いの計算をする人も結構いました。
試験の答案の書き方のこつとして、「試験範囲の内容をきちんと理解していることを採点者に伝える」というものがあります。
したがって、重要と思われるところは省略せずに、説明を入れたり公式を一般的な形で書き下したりすることで、
答案の完成度が増します。
このことは、狭い意味での試験にとどまらず、
将来、さまざまな場面で必要になるであろうわざです。いまの内から練習しておかれますよう。
なお、上で述べた反省点は、次回最終の試験で、改めて問うてみることにしようと思います。
かぜも遅刻も目立つこの時期、 次回以降も授業は予定通り進みます。
今日は、かぼちゃを食べる日。かぼちゃの日というと、最近では Halloween を意味もわからず連想しがちだが、
季節感を味わう余裕なき悲しさよ。
名古屋の日の出、6:55、日没、16:43。日の出が一番遅くなるのは1月初めである一方、
日没は既に極点を過ぎて、これから遅くなっていくのだなあ。朝がつらい時期。
授業もいよいよ大詰め、多変数の極値問題である。年末年始、それとセンター試験で寸断される悲しさよ。 秋入学よりも、この寸断を何とかすべきと思うのだが、誰も何も言わぬ、道昏し。
本日のメニュー:
極値と停留点、2次近似式、2次式の解析、ヘッセ行列と極値の判定。
変数を増やした際の質的な難しさと新たな発見、この2つを理解するための直観と計算と。
宿題は、問40。試験3の結果を掲示板で確認のこと。
[TAからのコメント] やはり、計算が重くなることもあり、計算ミスが多かったです。
計算は簡単な工夫次第でいくらか簡単になることがあります。
特に今回のように途中で2次方程式を解いたような時にはかなりいろいろな性質が出てくることに注目しましょう。
by浅井
朝は冷えましたが、冬晴れの穏やかな一日。 そして3週間ぶりの授業、腰が悲鳴をあげていたのですが何とか。
本日のメニュー:
停留点の分類(復習)、等高線と等位面、特異点での様子、正則点と陰関数定理
でした。微積分を教えていて、以前より気になっていたことがいろいろあって、大部分は、講義ノートに書き入れましたが、
漏れているもののひとつに、等高線(等位面)の扱いがあります。
極めて基本的な内容であるにも関わらずきちんと説明してある教科書は意外と少なく、不思議に思っておりました
(今も思ってます)。特異点の付近での様子とか、応用上も理論上も第一級の項目であると思うのですが、
陰関数定理の説明はあっても、
抜け落ちていることが多いようです。正則点の説明(=ほぼ陰関数定理です)だけでも大変なのに、ということなのかも知れませんが、
陰関数定理の難しい証明を入れるくらいであれば、等高線と特異点の関係を知る方がよっぽど教育的かつ生産的でしょう。
授業では(講義ノートでも)、証明の代わりに「心の部分」を説明しました。
証明そのものが気になる人は、(1)微積分の厳密な扱い、をまず勉強し、しかる後に、
各種存在定理を関数解析的にまとめて処理する、のがよいでしょう。
不完全ながらそれを扱ったメモはあるにはあります。
興味ある方は、お問い合わせ下さい。
次回は、センター試験準備ということで通常の授業は行わず、 Special Office Hour (10:00−12:00、理A349)とします。
今日の宿題は、問42と問43。1月25日に、授業アンケートを予定してます。
[TAからのコメント] 多変数の極大値,極小値は1階の微分で停留点を求め2階の微分で考察していますが、 これは1変数の時も自然にやっていたことです。1変数ですとヘッセ行列の行列式そのものが2回微分であると考えてみましょう。 by浅井
学習相談がないことは、喜ぶべきことか、はたまた悲しむべきことか。
しばらく前から思うことは、社会のアトピー化現象であるか。
人間性というものを無視した過剰反応、大人の知恵はいずこ。
まだまだ寒い日がやってきますが、日は確実に長くなっていて、春の予感。 好文は花ではないよ、闇夜にただよう匂い。
本日のメニュー:
正則点(復習)、条件つき極値、ラグランジュ乗数、例、授業アンケート
でした。
ラグランジュ乗数の物理的意味というのもいくつかあって、 力学における抗力の大きさや熱力学での条件つき平衡を特徴付ける熱力学的関数、といったこともできれば説明したかったのですが、 今の教育システム(数学と他の科目との関係)では難しいのかも知れません。
[TAからのコメント]
今回はなんと提出者1名… テスト週間でみなさん忙しかったのでしょうか… 従って特にコメントということもないですが、
条件付き極値を使うと高校までの少し難易度の高い問題が簡単に解けますよ。という言葉でも残しておきます。
一つ訂正です。問40の解答ですが途中移項したさいに符号が間違っておりました。
最終的な解答は別の手段で計算していますのであっていますが、気になる方は一度見ておいてください。
では、最後ですので1年間お疲れ様でした。
と締めさせていただきます。TAがよかった等の授業アンケートありがとうございました★☆ あさいたく
次回は、期末試験。試験範囲は、新たな部分+既出の部分。
過去問とこの授業日誌を読み返せば、見えてくる、かな。
3回目の試験の解答と2011年度の期末試験問題を追加しておきました。
適宜、更新ボタンを押してご活用下さい。
止めようもなく時は流れて、梅の香り。 最終試験をしました。 授業が飛び石だったせいか、勉強のペースが乱れる人も多かったようです。 それでも何とかなったといったところでしょうか。 まあ、ならぬものはならぬ、という一分の魂は、さすがに放棄しがたく、 天網恢恢のごとく。
師走は何月のことであろうか、今月のこと、いや、今週というべきか。 さいごの話は、1年の数学の目標についてであった。 今年も色々あったというべきか、常の道なれど。
ガンマ関数の基本的なところをひとしきり説明し、最後の授業としました。
また、成績の掲示を出しておきました。
疑問点等ある場合は、11日までに連絡を。