Riemann積分についての覚書

#初等解析 #メモ

Riemann積分について講義するときに気になってくる細かいあれこれをまとめておく． 随時追記． コメント歓迎．

Riemann積分の定義

有向集合とネット

$P$を集合とするとき，$P$上の二項関係$\le$が前順序であるとは，反射律 [ \forall p \in P \, \lbrack p \le p \rbrack ] と推移律 [ \forall p \in P \, \forall q \in P \, \forall r \in P \, \lbrack p \le q \land q \le r \implies p \le r \rbrack ] を充たすことだった． 前順序集合$(P,\le)$は，任意の二元に上界が存在するとき，すなわち， [ \forall p \in P \, \forall q \in P \, \exists r \in P \, \big\lbrack p \le r \land q \le r \big\rbrack ] を充たすとき，有向集合(directed set)であるという．

$(P,\le)$を有向集合とする． 一般に，集合$X$に対して，写像$x \colon P \to X$を（$P$で添字付けられた$X$の）ネット(net)という． $X$が位相空間であり$x \colon P \to X$がネットのとき，点$a \in X$が$x$の極限であるとは， $a$の任意の開近傍$U$に対して [ \exists p \in P \, \forall q \in P \, \lbrack p \le q \implies x(q) \in U \rbrack ] を充たすことをいう．

点付き分割

$[a,b]$を有界閉区間とする． $a \ne b$とする． このとき，$[a,b]$の分割(partition)とは，実数の有限列 [ a =: x_0 < x_1 < \dots < x_n := b ] のことであり，$[a,b]$の点付き分割(tagged partition)$\mathcal{P} = \lbrace (x_0, x_1, \dots, x_n), (\xi_1, \dots, \xi_n) \rbrace$とは，$\lbrack a,b \rbrack$の分割$a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$と点 [ \xi_1 \in \lbrack x_0, x_1 \rbrack, \dots, \xi_n \in \lbrack x_{n-1}, x_n \rbrack ] の組のことである．

点付き分割$\mathcal{P} = \lbrace (x_0, x_1, \dots, x_n), (\xi_1, \dots, \xi_n) \rbrace$と$\mathcal{Q} = \lbrace (y_0, y_1, \dots, y_m), (\zeta_1, \dots, \zeta_m) \rbrace$に対して，$\mathcal{Q}$が$\mathcal{P}$の細分であるとは， [ \lbrace x_0, x_1, \dots, x_n \rbrace \subset \lbrace y_0, y_1, \dots, y_m \rbrace ] を充たすことをいう． $\mathcal{P} = \lbrace (x_0, x_1, \dots, x_n), (\xi_1, \dots, \xi_n) \rbrace$と$\mathcal{Q} = \lbrace (y_0, y_1, \dots, y_m), (\zeta_1, \dots, \zeta_m) \rbrace$に対して，$\mathcal{Q}$が$\mathcal{P}$の細分のときに$\mathcal{P} \le \mathcal{Q}$と定めれば， $[a,b]$の点付き分割の全体の集合は，細分により，有向集合の構造が入る．

また，点付き分割$\mathcal{P} = \lbrace (x_0, x_1, \dots, x_n), (\xi_1, \dots, \xi_n) \rbrace$に対して， [ \Delta(\mathcal{P}) := \sup_{1 \le i \le n} \lvert x_i - x_{i-1} \rvert ] を$\mathcal{P}$のノルムという． $\mathcal{P} = \lbrace (x_0, x_1, \dots, x_n), (\xi_1, \dots, \xi_n) \rbrace$と$\mathcal{Q} = \lbrace (y_0, y_1, \dots, y_m), (\zeta_1, \dots, \zeta_m) \rbrace$に対して，$\Delta(\mathcal{Q}) \le \Delta(\mathcal{P})$のときに$\mathcal{P} \le \mathcal{Q}$と定めれば，$[a,b]$の点付き分割の全体の集合は，ノルムによっても，有向集合の構造が入る．

Riemann和とRiemann積分

$[a,b]$を有界閉区間とする．

$a \ne b$とする． $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$を函数とする． $[a,b]$の点付き分割$\mathcal{P} = \lbrace (x_0, x_1, \dots, x_n), (\xi_1, \dots, \xi_n) \rbrace$に対して， [ \mathcal{R}(f,\mathcal{P}) := \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \lvert x_i-x_{i-1} \rvert ] を$f$の$\mathcal{P}$によるRiemann和という． Riemann和により，$[a,b]$の点付き分割の全体の集合のなす有向集合で添字付けられた実数$\mathbb{R}$のネットが定まる． このネットの極限が存在するとき，$f$はRiemann積分可能であるといい，その極限を$f$の$[a,b]$上のRiemann積分といって [ \int_a^b f(x) \,dx ] と書く．

注：$[a,b]$の点付き分割の全体の集合には，細分によってもノルムによっても有向集合の構造が入った． Riemann積分の定義ではどちらを用いても結果は同じになる． 前者から後者が従うのは明らかだが，後者から前者が従うことを主張するのがDarbouxの観察である． ノルムによって有向集合の構造を与えるとき，$f$のRiemann積分が$\int_a^b f(x) \,dx$であるとは， [ \forall \epsilon > 0 \, \exists \delta > 0 \, \forall \mathcal{P} \text{: a tagged partition of $[a,b]$} \, \left\lbrack \Delta(\mathcal{P}) \le \delta \implies \left\lvert \mathcal{R}(f,\mathcal{P}) - \int_a^b f(x) \,dx \right\rvert \le \epsilon \right\rbrack ] を充たすことであって，このとき， [ \int_a^b f(x) \,dx := \lim_{\Delta(\mathcal{P}) \to 0} \mathcal{R}(f,\mathcal{P}) ] と書く． 微積分の教科書で見かけるものであり，Riemannも最初にこの定式化を考えていたらしい．

$a = b$のときは，全ての函数がRiemann積分可能でそのRiemann積分は$0$とする．

Riemann積分と有界性

何故有界閉区間か

Riemann積分を考えるとき，閉区間の有界性を仮定するのは何故か． それは，Riemann和 [ \mathcal{R}(f,\mathcal{P}) := \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \lvert x_i-x_{i-1} \rvert ] を常に有限にするためである． すなわち，非有界な区間の分割には必ず非有界な部分区間が含まれるので，Riemann和は常に無限になる． 非有界な区間は広義積分として扱う．

何故有界函数か

Riemann積分を考えるとき，函数の有界性を仮定するのは何故か． Darboux式に上積分と下積分でRiemann積分の定義を与えるとき，函数の有界性を仮定するのは上積分と下積分を常に有限にするためである． しかし，Riemann式にRiemann和でRiemann積分の定義を与えるとき，函数の有界性を仮定する必要はない． このとき，函数の有界性はRiemann積分可能性の帰結である． $[a,b]$を有界閉区間とする． $a \ne b$とする． 函数$f \colon \lbrack a,b \rbrack \to \mathbb{R}$はRiemann積分可能であるとせよ． $x \in \lbrack a,b \rbrack$とする． $f$がRiemann積分可能であることより，$\delta > 0$が存在して，任意の点付き分割$\mathcal{P} = \lbrace (x_0, x_1, \dots, x_n), (\xi_1, \dots, \xi_n) \rbrace$に対して， [ \Delta(\mathcal{P}) \le \delta \implies \left\lvert \int_a^b f(x) \,dx - \mathcal{R}(f,\mathcal{P}) \right\rvert \le 1 ] である． 特に，各$j=1,\dots,n$に対して，三角不等式より， [ f(\xi_j) \le \frac{1}{\lvert x_j - x_{j-1} \rvert} \left\lbrace \left\lvert \sum_{i \ne j} f(\xi_i) \lvert x_i - x_{i-1} \rvert \right\rvert + \left\lvert \int_a^b f(x) \,dx \right\rvert + 1 \right\rbrace ] である． さて，$n \ge \lvert b - a \rvert / \delta$として， [ x_0 := a < x_1 := a+\frac{\lvert b - a \rvert}{n} < x_2 := a+2\frac{\lvert b - a \rvert}{n} < \dots < x_n := a+n\frac{\lvert b - a \rvert}{n} = b ] とする． $j = 1,\dots,n$が存在して，$x \in \lbrack x_{j-1},x_j \rbrack$である． そこで，$\xi_j := x$として，各$i = 1,\dots, n$かつ$i \ne j$に対しては$\xi_i = x_i$とする． このとき，このように構成された$\mathcal{P} := \lbrace (x_0, x_1, \dots, x_n), (\xi_1, \dots, \xi_n) \rbrace$は，区間$\lbrack a,b \rbrack$の点付き分割であって，$\Delta(\mathcal{P}) \le \delta$を充たす． 従って， [ f(x) = f(\xi_j) \le \left\lvert \sum_{i \ne j} f \left( a + j \frac{\lvert b - a \rvert}{n} \right) \right\vert + \frac{\lvert b-a \rvert}{n} \left\lbrace \left\lvert \int_a^b f(x) \,dx \right\rvert + 1 \right\rbrace ] である． さらに， [ \left\lvert \sum_{i \ne j} f \left( a + j \frac{\lvert b - a \rvert}{n} \right) \right\vert + \frac{\lvert b-a \rvert}{n} \left\lbrace \left\lvert \int_a^b f(x) \,dx \right\rvert + 1 \right\rbrace \le \sum_{i=1}^n \left\lvert f \left( a + i \frac{\lvert b - a \rvert}{n} \right) \right\vert + \frac{\lvert b-a \rvert}{n} \left\lbrace \left\lvert \int_a^b f(x) \,dx \right\rvert + 1 \right\rbrace ] である． よって， [ f(x) \le \sum_{i=1}^n \left\lvert f \left( a + i \frac{\lvert b - a \rvert}{n} \right) \right\vert + \frac{\lvert b-a \rvert}{n} \left\lbrace \left\lvert \int_a^b f(x) \,dx \right\rvert + 1 \right\rbrace ] がわかった． すなわち，$f$は有界である．

または，非有界函数がRiemann積分可能ではないことを次のように示してもよい． $[a,b]$を有界閉区間とする． $a \ne b$とする． 函数$f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$は上に非有界であるとせよ． このとき，$[a,b]$の任意の分割$a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$に対して，ある$j = 1,\dots,n$が存在して，$f$は区間$\lbrack x_{j-1},x_j \rbrack$で非有界となる． 従って，任意の$M > 0$に対して，各$i=1,\dots,n$に対して点$\xi_i \in \lbrack x_{i-1}, x_k \rbrack$が存在して，$\mathcal{P} := \lbrace (x_0, x_1, \dots, x_n), (\xi_1, \dots, \xi_n) \rbrace$とするとき， [ \mathcal{R}(f,\mathcal{P}) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \lvert x_i - x_{i-1} \rvert = f(\xi_j) \lvert x_j - x_{j-1} \rvert + \sum_{i \ne j} f(\xi_i) \lvert x_i - x_{i-1} \rvert \ge M ] となる． すなわち，$f$はRiemann積分可能ではない． $f$が下に非有界のときも同様である．

ちなみに，Riemann式にRiemann和でRiemann積分の定義を与えるとき，函数がRiemann積分可能であることは，その函数が有界かつ非連続点の全体の集合がLebesgue零集合であることと同値である．

非有界な函数は広義積分として扱う．

メモ

Riemann vs Darboux

Jordan測度とRiemann積分