弱収束するが強収束しない三大機構
- 無限遠に逃げる．
- 無限遠に逃げなかったとしても，むちゃくちゃ振動する．例えば，$f_k(x) := \sin kx \in L^2(0,\pi)$など．
- 無限遠に逃げず，例えばae各点収束するのでむちゃくちゃ振動するわけではかったとしても，一点に凝集する．すなわち，バブル．
Lieb-LossのAnalysisのp.56を見よ．
$L^p$函数の弱収束列$f_j \rightharpoonup f$に対して，$\liminf \lVert f_j \rVert_p \ge \lVert f \rVert_p$である． さらに，$1 < p < \infty$のとき，$\lim \lVert f_j \rVert_p = \lVert f \rVert_p$ならば，$f_j$は$f$に強収束する． すなわち，弱収束するが強収束しないというのは，エネルギーが失われているということである．
弱収束と平均の収束
$1 < p < \infty$とする． 空間$X$上の$L^p$函数の列$f_j$と$f$に対して，次は同値である：
- $f_j$は$f$に$L^p$で弱収束する．
- $f_j$の$L^p$ノルムは一様に有界であり，任意の部分集合$E \subset X$に対して$\int_E f_j \,d\mu \to \int_E f \,d\mu$となる．
すなわち，函数列の弱収束は，平均の収束である． ここで，平均するときには，絶対値を取っていないことに注意せよ．