教科書とシラバス
- 教科書:斎藤毅「集合と位相」東京大学出版会 2009
- シラバス
講義の記録
10月15日にやったこと
- 実数と連続函数の復習
- 実数の連続性(有界かつ単調増大な数列は収束する.)
- $\epsilon$-$\delta$式の連続函数の定義
- 中間値の定理
- 最大値の定理
- 位相の開集合系による定義
- 連続写像の定義
- 同相写像の定義
- 恒等写像は連続写像であり,連続写像の合成は連続写像である.
- 密着位相・離散位相
- 一次元Euclid空間$\mathbb{R}$の開集合系の定義
- 後半は演習
- 三点集合の開集合系の枚挙
- Sierpinski位相
- included point topology
- excluded point topology
- 補有限位相
- Fort位相
10月22日にやったこと
- $\mathbb{R}$から$\mathbb{R}$への写像に対して,$\epsilon$-$\delta$式の連続性の定義と開集合系による連続性の定義は一致する.
- 二次元Euclid空間$\mathbb{R}^2$の開集合系の定義
- 位相の強弱
- 位相の生成
- 基底の定義
- 連続写像と基底
- 後半は演習
10月29日にやったこと
- 被覆
- 近傍
- 閉集合
- 素数が無限にあることのFurstenbergによる証明
- 内点・内部・外部・境界・閉包・触点
11月05日にやったこと
- 集積点・孤立点・導集合
- 近傍系による位相の導入と連続写像の特徴付け
- 閉集合系による位相の導入と連続写像の特徴付け
- 内核作用素による位相の導入と連続写像の特徴付け
- 閉包作用素による位相の導入と連続写像の特徴付け
- 導集合作用素による位相の導入と連続写像の特徴付け
- 距離空間と距離位相
11月12日にやったこと
11月19日にやったこと
11月26日にやったこと
- 連結と弧状連結の定義
- 中間値の定理
- 弧状連結ならば連結.
- 後半は演習.
12月3日にやったこと
- 連結空間の部分空間
- 連結空間の商空間
- 連結空間の積空間
- コンパクト性の定義
- 最大値の定理
- Heine-Borelの定理
12月10日にやったこと
- コンパクト空間の閉部分空間はコンパクトである.
- コンパクト空間の商空間
- コンパクト空間の有限個の積
- チューブ補題とその応用
- Hausdorff性の定義
- Hausdorff空間と対角集合
12月17日にやったこと
- Hausdorff空間への連続写像のグラフは閉集合である.
- 一致の定理
- Hausdorff空間の部分空間はHausdorffである.
- Hausdorff空間の点は閉集合である.
- Hausdorff空間の積空間はHausdorffである.
- Hausdorff空間の商空間は一般にはHausdorffではない.
- コンパクト空間からHausdorff空間への連続写像は閉写像である.
- Hausdorff空間のコンパクト部分集合は閉集合である.
- コンパクト空間からHausdorff空間への連続写像は,全単射ならば同相写像である.
- 距離空間はHausdorffである.
- 距離空間の空でない部分集合の直径の定義
- 距離空間の部分集合は,コンパクトならば有界閉集合である.
- 完備距離空間の定義
- 縮小写像の定義
- 縮小写像の原理
1月21日にやったこと
- 稠密の定義
- Baireの定理
- Baireの定理の応用:単位閉区間$[0,1]$上の連続函数であって至る所微分不可能なものの存在.
1月28日にやったこと
2月4日にやったこと