幾何の推薦図書

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多様体の基礎

志賀浩二「多様体論」岩波基礎数学選書 1990
日本語の多様体の教科書としてはこれが一番良いのではないか?
John Lee, Introduction to Smooth Manifolds Second edition, GTM 218, 2012.
配慮の行き届いた良い教科書.
Frank W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, GTM 94, 1983.
定番の教科書.最近読み返したら,やっぱり良い教科書だった.
調和積分論の基礎まで含めて多様体の基礎ということ.
Stephen Bruce Sontz, Principal Bundles: The Classical Case, Springer Universitext, 2015.
なんと,まるまる一冊で主束のことだけを扱った教科書である.さすがに説明が丁寧で,しかも,なかなかおもしろい.
接続って何なのか頭が混乱したらさっくり読んでみるとよい.ただ,後半のゲージ理論の章は,まあ,読まなくてもよいでしょう.

Riemann幾何と微分幾何

加須栄篤「リーマン幾何学」培風館 2001
Riemann幾何の基本的なことがよくまとまっている.
Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, and Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry Third edition, Springer 2004.
定番の教科書.
簡単でざっくりしてると見せかけて,実はいろいろ細かいことも書いてある.
Peter Petersen, Riemannian Geometry Third edition, GTM 171,2016.
Riemann幾何の基本的なことがよくまとまっている.
それぞれの版で構成がかなり違うが,最新版の第三版がおすすめ.
Michael E. Taylor, Differential Geometry.
解析の大家による微分幾何入門.
実際に計算するときに役立つことがいろいろ書いてある.
H. Blaine Lawson and Marie-Louise Michelsohn, Spin Geometry Second printing with errata sheet, Princeton, 1994.
定番の教科書.読んでてなかなかおもしろい.
今野宏「微分幾何学」東京大学出版 2013
無駄のない構成ですっきりと書かれている.
微分幾何学というか,大域解析学の基礎という感じの教科書.シンプレクティック幾何やゲージ理論など,いわゆる幾何の論文を読むためにはここに書いてあることを出発点とすれば良い.ただし,Riemann幾何については別の本を読まねばならない.
Freed-Uhlenbeckを読むための下準備としてはこれで十分.
Clifford Henry Taubes, Differential Geometry, Oxford, 2011.
端々におもしろいコメントはあるが,全体としては普通の教科書.
Bott先生の講義に影響を受けているらしい.
Freed-Uhlenbeckを読むための下準備としてはこれで十分.

幾何解析

Simon Donaldson, Geometric Analysis and its supplements.
Donaldson先生による幾何解析の講義録.必読.
細かい間違いはたくさんあるが,全て直せる.
最後の章の山辺の問題の解説など,非常に示唆に富んでいる.
Richard Schoen and Shing-Tung Yau, Lectures on Differential geometry, International Press, 1994.
巨匠の手による教科書.必読.
David Gilbarg and Neil S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer Classics in Mathematics, 2001.
幾何への応用が念頭に置かれた楕円型方程式の良い教科書.普通の幾何の楕円型方程式の基礎はこれで足りる.
必要なことは大体書かれているし,読んでてなかなかおもしろい.
要するに,Poisson方程式が全ての基本で,これを定量的に徹底的に調べて,あとは摂動論.
改訂されて内容が拡充されているので,図書館でハードカバー版を借りるときや電子書籍で読むときには注意のこと.
Thierry Aubin, Some Nonlinear Problems in Riemannian Geometry, Springer Monographs in Mathematics, 1998.
実は第一版の薄いハードカバー版もすっきりしていて良い教科書なので,まずはそれを読むのがいいかもしれない.

位相幾何

Phillip Griffiths and John Morgan, Rational Homotopy Theory and Differential Forms, Springer Progress in Mathematics 16, 2013.
Sullivanの有理ホモトピー論の素晴らしい教科書.四年生のとき,M田先生とセミナーで読んで,M田先生に感化され,Sullivanの数学のファンになった.
スペクトル系列のまとめなど,前半も特筆すべきわかりやすさであり,ここだけでも読むべき価値がある.ただ,前半を読んだら,後半は読まずにはいられないだろう.