SL(2,R) のユニタリ表現(2005年度)

• 「SL(2,R) のユニタリ表現」という表題の短期集中の講義を行います。
• 日程：５月２４日からの２週間の間に不定期。
• １回目：５月２４日火曜日４限(14:45-)５５２室。
• ２回目：５月２５日水曜日４限(15:00-)４５３室。
• ３回目：５月３０日月曜日５限(16:30-)５５２室。
• ４回目：５月３１日火曜日４限(14:45-)４０９室。
• ５回目：６月１日水曜日４限(14:45-)５５２室。
• 部屋はすべて理１号館。
• 対象： 対象は大学院生程度。 学部学生でも出席できますが、 群や表現などの基本的な用語に関しては、 軽く復習する程度で詳しくは説明しません。
• 単位：数理学科・多元数理科学研究科の公式の講義ではないので、 単位はつきません。
• 内容：SL(2,R) の既約ユニタリ表現の分類と 指標公式などを解説します。
• 講義方法の特徴： 最初にあまり概説的なことに時間を使わず、 いきなり表現の構成や性質等の本論に入って、 技術的な説明もある程度していきたいと思います。 そして、具体的な計算を通じてある程度面白さがわかってから 全体像や背景等に戻ることとします。
• 講義計画: ５回程度を考えています。まず最初の週は、
  (Episode 4) 表現の構成、主系列、補系列、指標
  (Episode 5) 表現の構成、離散系列、その極限、指標
  (Episode 6) 既約ユニタリ表現の分類

  これ以降はどうするか決めていませんが、
  (Episode 1) 表現の分類と種々の不変量
  (Episode 2) 幾何学的アプローチ
  (Episode 3) 半単純リー群のユニタリ表現の分類(の現状)

  1. 主系列表現、まず球主系列表現。 表現であること。（連続性を述べ忘れた。） unitary 性（簡単な場合に帰着すること）。 既約性（intertwining operator の構造を調べることで途中まで）。 複雑な式の由来（表現の誘導）は後回し。
  2. 補系列表現。内積。 パラメータが0 の場合に既約性が崩れることを 証明抜きで述べた。
  3. non-spherical principal series
  4. 指標。 存在は次回。 超関数として捕まえる、 局所可積分関数になる、 ほとんど至る所で指数関数（Weyl の指標公式型）という 事実のみ述べた。係数の決定が問題。 明示公式を主系列表現に対して証明なしで書いた。 類関数、共役類に関する注意。
  5. ２回目の予告。 指標の存在、trace class operator, Harish-Chandra の定理、 Casimir, 無限小指標、 主系列表現に対する明示公式。
  6. 離散系列表現。 その極限。 指標。 tempered な表現。