微分方程式(2003年度前期)

• 教科書：石村隆一・岡田靖則・日野義之「微分方程式」牧野書店
  訂正などのページ
• 演習書： 一樂重雄・一樂祥子「微分方程式　そのまま使える答えの書き方」講談社
• 参考： 昨年度 講義のノート（内藤先生）
• 進度
  1. 4/17.
     (1) 授業の案内。 (2) 教科書1.0節。微分方程式の基本的な概念の説明。 微分方程式、解、n階、線形、非線型、斉次、非斉次、 一般解、特殊解、特異解、正規形、自励系、 (3) 1.1節前半「変数分離形の解法」 例題1.1.1, 類題1.1.3(1), 例1.1.4「未知関数の変数変換(1次)」 その例として問1.1.9(8) を最後にして回収。
     配布物 (1) 授業案内(１ページ両面)

  2. 4/24
     (1)1.1節後半「変数分離形の解法(続)」 同次形(未知関数の変数変換で変数分離形に。) (2)p45 問題1.2 (7) 同次形に帰着できる例 (3)1.2節「一階線形」 1階線形斉次。 これは変数分離。 (4) 1階線形非斉次(定数変化法) 類題1.2.2(1) をやってみる。
     配布物 (1) 1次独立 O111 (2) 線形O112
     レポート課題(4/24 出題)：p44-45 の問題1.1 と1.2 を自分のノートに解け。 そして、つぎの[1][2][3]をまとめて、 5/8 の講義開始時までに提出せよ。 前日までに提出することを推奨する。
     [1] (a)解かなかった問題 (b) 解こうとしたが途中までしかできなかった問題、 の番号をそれぞれリストアップせよ。 [2] 解けた問題から気に入った問題(あるいは苦労した問題)を 1.1, 1.2 からそれぞれ1題ずつ、 合計２題を選び、その答案を記せ。 [3] (b) に属する問題があればそこから5題ほどを選び、 どこから先ができなかったのかを記せ。 所要時間などその他の手がかりを記すのも良い。
  3. 5/5 追記。 教科書の巻末解答に誤りがある。 1.2(4)(8)(14). 詳しくは数理事務室(理学部１号館一階)の前の 「科目別プリント用の引き出し」で配付中の プリント(２枚。整理番号O113)を見て下さい。
  4. 5/1 は開学記念日のため全学休講。
  5. 5.8.
     (0) レポートを集めて、 それに対するコメントを配布プリントに沿って行う。 双曲線関数に関してかなり丁寧に説明。 (1) 1.2節「1階線形」の解の構造をきちんと述べる。 (2) 1階線形の応用[1]「ベルヌーイ」 問1.2.6(4). １階線形の復習にもなった。 (3) [2] 「リッカチ」問1.2.9(1) を用いて、 ベルヌーイに帰着される様子を説明。 (4) 完全系のさわりをする。 定理1.3.1 まで。
     配布物(0) テキストの解答補足(O113) (1) レポートに対するコメント(O114) どちらも「科目別プリント用の引き出し」でも入手できるように してあります。
  6. 5.15.
     1.3節「完全系」 (1) 微分形式による表示。完全、閉という概念を準備。 (2) 完全系。問1.3.6(3)(5)。 (3) 積分の意味の説明、ポテンシャル、等高線。 (4) 積分因子の方法。問1.3.7(1)。 (5) 教務委員長による授業アンケートがあった。レポート返却方法を変更。
  7. 中間試験は5/29(木), 8:45--10:15。試験範囲は1.3 節まで。 講義やレポートで課した演習問題を学習しておくこと。
     その準備として、 5/21(水)締め切りのレポート課題を出題。 問1.2.5(p8), 1.2.6(p9), 1.2.9(p10), 1.3.6(p14)および 章末問題1.3, 1.4, 1.5(p45--46)。
  8. 5/22.
     (0) 前日締め切りのレポートに対する補足説明。プリントO117 を用いる。 (1) 1.4節「定数係数斉次線形」 方程式の構造と解空間の構造。１次独立性の証明は次回のお楽しみに。 (2) 演算子法 (3) 重根を持たない時の解法 (4) 複素根を持つ場合の書き換え。オイラーの公式。
     配布プリント O115(三角関数), O116(教科書の演習問題の訂正）, O117(レポート問題の解答補足)
  9. 5/29.
     (1) 中間試験。 (2) 講義。重根を持つ場合の定数係数斉次微分方程式の一般解。 descendant が出てくる由来も丁寧に説明する。 例題1.4.8(2)(10) (3) オイラーの微分方程式。 独立変数の変数変換は初めて。
     配布物。試験問題。解答速報。Riccati 方程式(O118両面) の計３枚。
  10. 6/5. 名大祭のため全学休講
  11. 6/12. (1)オイラーの微分方程式つづき。 p19 最上部の公式を証明、意味を説明。 問題演習は問1.4.9(3) を行う。 (2) １次独立性の証明(定理1.4.1)。ただし、証明はより分かりやすいものを紹介する。 (3) Wronski 行列式の定義、１次独立性との関係を証明、 解から微分方程式が作れることを紹介。 (4) 非斉次定数係数線型へ。特殊解と斉次の解と和に書けることをまず強調。 以降は１つの解を求めることに集中する。 (5) 0 を根に持つ場合(問1.5.10(1))、 持たない場合(類題1.5.5で問題演習)。 根がシフトされる様子だけを見る。
      中間試験をなるべく早く返却すべきなのだが、 まだ帳簿につけてないです。すみません。
  12. 6/19. 1.5節「定数係数線形非斉次」 非斉次の特殊解続き。 教科書には必ずしも完全には沿っていない。 (1) 前回の問題演習を完結。 (2) p20 公式(2) に当たるものを証明込みで紹介、利用する。 (3) 演算子法の記法(p27) を紹介。 (4) p20 公式(5) に当たるものを証明込みで紹介。 (5) 部分分数展開による方法(p33 冒頭)に当たるものを紹介、 例 y''+4y'+3y=xで説明。 (6) 多項式の空間を例にとって、ジョルダン分解を復習。 ベキ零変換の性質。 (7) p20 上部の無限級数展開による解法を説明、 例1.6.20 を行う。 (8) 指数かける多項式、三角関数の場合の注意。
      ５節および６節の課題を出題。
  13. 6/26. レポートを踏まえて、 非斉次の特殊解の続きを行う。 (1) 複素数の利用による三角関数の取り扱い。 (2) 類題1.5.7 を講義内演習。時間がかかった。 できた人に追加問題も出題。 (3) 線形写像としての固有多項式との関係。 (4) 「微分方程式と解の意味」へ。 代数方程式との対比、並行科目である積分論との 関係付けも説明した。 (5) モデル１、人口の方程式（マルサス） (6) モデル２、単振動。 解の有界性、初期値問題。
  14. 7/3. 3.1節へ。 (1) 積分方程式との同値性。 (2) 連立系への書き換えとベクトル記法。 (3) 定理3.1.1 とその証明。 ノルムの性質、コンパクト性、Weierstrass M-test などを復習。 Lipschitz 連続性の下で。 (4) 補題3.1.2. 講義内演習で、問題3.3 をする。
      配布資料(1) テキストの正誤表(８ページ） このweb からリンクされているものと同一。
  15. 7.10. (1) Gronwall の問題演習の解答。 (2) 3.4. 行列の指数関数とそれを用いた定数係数連立の解法。 べき零、対角、回転の例を挙げ、 問題3.6 を講義内演習に用いる。 (3) 3.6 自励系の描像。 上記の例から、座標変換の役割を説明。 安定、不安定(テキストのa-1,a-2)から、 (b), (a-3), つづいて(e) までを説明して 後は次回。
      レポート。16(水)まで。 問題3.11 の指数関数を計算せよ。
  16. 7.17. 最終回。 (1) 3.5. Wronki 行列式による１次独立性の判定を きちんと証明。 (2) Riccati 方程式と２階線形斉次との関係を説明。 講義内演習として 1.2.9(2) を線形化。 (3) 積分定数の意味として射影直線をパラメータ空間に持つことを説明。 (4) 前回の続き。 レポートをふまえて、前回の問題3.6, レポートの４題、 および、対角化不能(c) のそれぞれについて グラフィクスで軌道の様子を見せる。 (5) 教務委員会による講義アンケートのため、退出。
  17. 提出されたレポート、講義内演習などを返却します。 7.18 の代数の講義、研究室などで受け取って下さい。
  18. 期末試験は第３週木曜日(9/18)の予定。 場所は509 になる予定なので確認。