連続講義のお知らせ


  • 2007年9月より開始.
  • 有限次元半単純リー群の表現論の基礎(basic)を押さえる セミナーを始めます. ただし, 網羅的にするのではなく世話人がいくつか話題を選んで趣味的(maniac)にします.
  • まず準備をしてから, と考えると なかなか本論に入れないので, いきなり本題に入りましょう.
  • (基礎も固めたい人は, 講義と並行して 標準的な教科書, 例えば 小林俊行・大島利雄「リー群とリー環」岩波書店, を読んでください.) しかしそれは要求しません.
  • とりあえず「講義形式」で始めます. ゆくゆくは文献紹介セミナーにするつもりです.
  • 略称を BLT(= Basics on Lie Theory)とします.
  • 研究科の公式の催しではありません. 従って単位は出ません.
  • 日程と場所(9/20更新, 9/28更新):
  • 初回は 9/7(金) 5限, 理1号館 552 室,
  • 2回目は9/13(木) 5限, 理1号館 552 室,
  • 3回目は9/20(木) 5限, 理1号館 555 室,
  • 4回目は9/27(木) 5限, 理1号館 452 室,
  • 5回目は10/3(水) 5限, 理1号館 552 室, (時間を再度、変更しました、ごめんなさい)
  • 5回目は10/12(金) 4限, 理1号館 552 室,
  • 6回目は10/19(金) 4限, 理1号館 552 室,
  • 7回目は10/26(金) 4限, 理1号館 552 室,以降は未定です.
  • 世話人:落合啓之
  • 予備知識: 線形代数は固有値, 固有べクトル, 固有空間まで. ジョルダン分解は仮定しない. 微積では指数関数のテーラー展開, 多変数では偏微分と方向微分まで. 位相ではユークリッド空間 Rn の連続関数, 閉包まで. 群の初歩, 例えば準同形, 正規部分群, 商まで. シローの定理などは仮定しない. その他, 多様体, 接空間, 基本群, 係数拡大(テンソル積)などは 使う場合は説明を加えながらします.
  • 初回のタイトルは K\backslash G/B for U(p,q). 内容は不定値ユニタリ群に対応した 旗多様体の軌道分解です. (旗多様体はグラスマン多様体の親玉です.) つまりはじめは表現論ではなく, 組み合わせ論と`線形代数の幾何'です. といってもこのキーワードを知っている人を対象に講義をするのではありません. たいていの人は何のことやら分からないと思いますので 講義当日をおたのしみに.
  • 進行状況(9/20更新, 9/28更新)
  • 初回:両側剰余類の定義と基本的な性質を 行列の基本変形の言葉で与えた。 p=q=1 の場合の分解を与えた。 その他のキーワードは一次分数変換、リーマン球面、射影直線、作用、軌道、共変。
  • 2回目:グラスマン多様体、枠、旗、旗多様体、 対称空間を説明した。(すべてA型。) 線形空間を使ったモジュライ解釈を与えた。
  • 3回目:モジュライ解釈を用いた軌道の不変量の導入。 p=q=1 の例。 p=2,q=1 の例で、6つの軌道すべてを線形代数で実現し軌道不変量を決定。 p,q 一般の場合の U(p,q) の KGB 分解の記述を2通り紹介。 (1) 対称群のinvolution と符号 (2) 松木大島記号。 最後に写像 varphi の定義と性質。
  • 4回目: 軌道の組み合わせ的記述方法と群論的な写像が 一致することを確認。Bruhat 分解(ここまでが第1章)。 第2章 KGB分解の構造へ入る。 部分集合 V の定義と KVT 分解との同形(代表元はまたあとで触れる)。 閉包関係、放物型部分群 Pα, 写像 πα, Atlas 図式、p=q=1の例、 p=2, q=1 の例。線形空間による解釈。
  • 5回目(予定): p=q=2 の例。 ヘッケ環
  • ?回目:(未定)以上のKGB 分解および構造をルート系を用いて再定式化。
  • ?回目:(未定)他の古典型の場合の記述。
  • 始めた頃の予定では U(p,q) で軌道分解を済ませたあとに 早めに他の型に行く予定でしたが、 むしろ U(p,q) で線形代数を使う方法のみで 軌道分解以外の構造も徹底的にやりぬく という方針にプランが変更されて来ています。