Littlewood-Paley-Stein 理論に対する
Brown 運動を用いたアプローチ
Littlewood-Paley-Stein の不等式は Euclid 空間上の
Lp-理論において基本的であり、典型的応用として
2種類の k 階 Sobolev 空間の同値性（一方は k 階までの
gradient を用いた Lp-ノルムで定義、
もう一方は Laplacian の k/2 巾を用いた Lp-ノルムで定義する）
があげられる。
Littlewood-Paley-Stein の不等式自体は少し複雑なのでここでは
説明を割愛する。
1970 年代半ば、P. Meyer は Littlewood-Paley-Stein 不等式に対し
Brown 運動に基づく新しい証明を
与えた（参考文献２）。これは（少なくとも確率論研究者にとって）
より見通しのよい証明であるばかりか実はそのアイデアは Riemann 多様体上の
Brown 運動にも適用可能であった。
D. Bakry は Meyer の考えに沿って Ricci 曲率が下に有界な
Riemann 多様体に対し k 階 Sobolev 空間の同値性を $k=1$ に限って
証明した(1987 年；参考文献１)。
ここで Bakry の
仕事が $k=1$ に限られていたのには理由があった。実は
一般の $k$ に対する拡張は routine work ではない。その理由は
共変微分 を $k$ 回作用して現れる $k$ 階のテンソル場を処理する際、
微分作用素どうしの非可換性（例えば Ricci の等式や
Weizenb\"ock 公式に見られるような）により、$k=1$ の場合とは
異なる新たな手法が必要とされることにある。
筆者はこの問題を解決するため
Littlewood-Paley-Stein 不等式に遡り、まず
Riemann 多様体上の Littlewood-Paley-Stein
不等式をテンソル場（更に一般に接続をもったベクトル束への切断）に拡張し、
テンソル場に対する Bochner の Laplacian,
微分形式に対する de Rham-Hodge-小平 の Laplacian
も例としてとり込んだ。
更に応用として k 階 Sobolev 空間の同値性が曲率に対する
適当な条件のもとで任意の階数 $k$ に対し成立することを示した（参考文献５）。
参考文献
-
Bakry, D. :
Etude des transformations de Riesz dans
les vari\'{e}t\'{e}s riemanniennes \`{a}
courbure de Ricci minor\'{e}e,
S\'{e}minaire de Probabilit\'{e}s XXI,
Springer Lecture Notes in Math. {\bf 1247},
137-172 (1987).
-
Meyer, P. A. :
D\'{e}monstration probaliste de certaines
in\'{e}galit\'{e}s Littlewood-Paley,
S\'{e}minaire de Probabilit\'{e}s. X,
Springer Lecture Notes in Math. {\bf 511},
125-183 (1976).
- Yoshida, N.
The Littlewood-Paley-Stein inequality on an infinite dimensional
manifold,
J. Funct. Anal. . 122, 402--427, (1994).
- Yoshida, N. and
Shigekawa, I.: Littlewood-Paley-Stein inequality for symmetric
diffusions,
J. math. Soc. Japan, 44, pp.251-280 (1992).
- Yoshida, N:
Sobolev spaces on a Riemannian manifold and their equivalence,
J. Math. Kyoto Univ. 33 621--654,(1992).
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