大学院少人数クラス（確率論入門）

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• 確率空間と確率変数
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• 独立試行列と大数の法則
  • 独立試行列
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  • Monte Carlo 法

• 独立試行列と大数の法則
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• De Moivre-Laplace の定理
  • 局所極限定理
  • 積分極限定理

• De Moivre-Laplace の定理
  • ランダムウォークへの応用
  • 確率の推定
  • 高次元ランダムウォーク

• Poisson 分布と Poisson 極限定理
• 条件つき確率と独立性
  • 条件つき確率
  • 事象の独立性
  • 完全加法族の独立性

• 条件つき確率と独立性
  • ベイズ推定
  • 独立な確率変数の平均と分散
  • ギャンブラーの破産の問題

• 条件つき確率と独立性
  • ギャンブラーの破産の問題
• マルコフ連鎖
  • 確率行列
  • マルコフ連鎖の定義

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  • 不変マルコフ連鎖
  • エルゴード定理

• マルコフ連鎖
  • マルコフ連鎖のエントロピー
  • 正行列の積
• ランダムウォーク
  • ランダムウォークの一様性

• ランダムウォーク
  • ランダムウォークの再帰性

• 分枝過程
  • 分枝過程の縮退

• 多次元正規分布
  • 共分散
  • 特性関数

• 条件つき確率と条件つき期待値
  • 全体期待値公式
  • 条件つき期待値

• 条件つき確率と条件つき期待値
  • Radon-Nykodim の定理
• パーコレーション
  • パーコレーションの定義

• パーコレーション
  • 臨界確率の存在定理

• 分布関数、Lebesgue 積分、期待値
  • 分布関数の性質
  • 分布関数のタイプ（離散型、絶対連続、特異型）

• 分布関数、Lebesgue 積分、期待値
  • 単関数と Lebesgue 積分
  • 期待値とその性質
• 超関数と偏微分方程式
  • 超関数の定義

• 超関数と偏微分方程式
  • 超関数列の収束
  • Fourier 変換
  • Schwartz class

• 超関数と偏微分方程式
  • Sobolev の埋蔵定理
  • 偏微分方程式の基本解

• 連続時間の Markov 連鎖
  • 推移確率関数
  • Kolmogorov の後退方程式
  • 無記憶性

• 連続時間の Markov 連鎖
  • Markov 連鎖の正則性
  • 出生死滅過程

• Self Avoiding Random Walk on Z^d
  • Connective 定数
  • 臨界指数
  • 帯磁率

• Self Avoiding Random Walk on Z^d
  • 帯磁率の臨界指数
  • lace 展開

• 確率微分方程式
  • Brown 運動
  • 確率積分
  • 伊藤の公式

• 確率微分方程式
  • オプションの価格式
  • ポートフォリオの価値
  • Black-Scholes の微分方程式

• 格子上のランダムウォークの再帰性
  • 再帰性の判定
  • 格子上の遷移確率
  • 再帰確率の評価
  • 三角格子上における再帰性

• 捕食者・被食者方程式とレプリケーター力学系
  • ロトカ・ヴォルテラ方程式
  • 種内競争とリヤプノフ関数
  • 進化的安定状態（ESS）
  • レプリケーター力学系とESS

• 金融派生商品の価格決定
  • 同値マルチンゲール測度
  • バリアオプション
  • 金融実務における利率の決定
  • Stochastic Volatility Model