合成系

ヒルベルト空間 ${\cal H}_1$, ${\cal H}_2$の正規直交基底系を $\{\vert \phi^1_i\rangle \}$， $\{\vert \phi^2_j\rangle \}$とする． そして，形式的な積 $\vert \phi^1_i \otimes \phi^2_j\rangle$ を考え，正規直交基底系が $\{\vert \phi^1_i\rangle \otimes \vert\phi^2_j\rangle \}$ となる空間を ${\cal H}_1$, ${\cal H}_2$ のテンソル積空間といい， ${\cal H}_1 \otimes {\cal H}_2$ と書く． 有限次元の場合は， $\dim ({\cal H}_1 \otimes {\cal H}_2) = \dim {\cal H}_1 \times \dim {\cal H}_2$ である．

表現空間が ${\cal H}_1$, ${\cal H}_2$ となる２つの系 をまとめて一つの系とみるとき，これを 合成系といい，その表現空間は，テンソル積空間 ${\cal H}_1 \otimes {\cal H}_2$である． もし， 二つの系が一度も過去に相互作用 したことがなければ，その合成系の状態は， $\rho_1\otimes\rho_2 (= \sum_{i,j} w^1_i w^2_j \vert \phi^1_i \otimes \phi^2_j \rangle \langle \phi^1_i \otimes \phi^2_j \vert)$ と書ける．ここで $\rho_1( =\sum_i w^1_i \vert \phi^1_i \rangle \langle\phi^1_i\vert) , \rho_2( =\sum_j w^2_j \vert \phi^2_j \rangle \langle\phi^2_j\vert)$ は各々 ${\cal H}_1$， ${\cal H}_2$ の上の密度行列である． しかし，二つの系が相互作用したことがあれば， 一般には合成系の状態はこの様には書けない．

今，系 ${\cal H}_1$と系 ${\cal H}_2$に各々独立に 測定 $\{ M^1_\omega\}$と $\{ M^2_\xi\}$を行ったとする． このとき，これらから得られる測定値の組 $(\omega,\xi)$ の同時分布は，次の様に計算される． すなわち， 系 ${\cal H}_1 \otimes {\cal H}_2$の 上の状態に測定 $\{ M^1_\omega \otimes M^2_\xi \}_{\omega,\xi}$ に施したときに測定値 $(\omega,\xi)$が得られる 確率を $(\ref{a6})$を用いて計算すると，それが求めるものになる.

一般には， ${\cal H}_1 \otimes {\cal H}_2$の上のPOVMは 必ずしも $\{ M^1_\omega \otimes M^2_\xi \}_{\omega,\xi}$ という形には書けない． そういうものを実現するには， 単に独立に二つの系を測定するのではなく， 両者の相互作用を利用するなどの工夫が必要である．

推定では $n$ 個の同一の状態 $\rho \in {\cal S}({\cal H})$ にある系の合成系を考える. このとき, 合成系 Hilbert 空間は ${\cal H}^{\otimes n}:= \underbrace{{\cal H} \otimes \cdots \otimes {\cal H}}_n$ となり, 状態の密度行列は $\rho^{\otimes n}:= \underbrace{ \rho \otimes \cdots \otimes \rho}_n$ となる.

２つのテンソル積状態 $\rho_0^{\otimes n},\rho_1^{\otimes n}$ の量子相対エントロピー,量子類似度, Fidelity については 以下の関係式が成り立つ.

$$F( \rho_0^{\otimes n}\Vert \rho_1^{\otimes n})=F( \rho_0\Vert \rh... ... \quad A( \rho_0^{\otimes n}\Vert \rho_1^{\otimes n})=n A( \rho_0\Vert \rho_1).$$

Remark 1   テンソル積空間 ${\cal H}_1 \otimes {\cal H}_2$ は直和空間 ${\cal H}_1 \oplus {\cal H}_2$ と異なることに注意されたい. 直和空間 ${\cal H}_1 \oplus {\cal H}_2$ は 正規直交基底系が $\{\vert \phi^1_i\rangle \} \cup \{\vert \phi^2_j\rangle \}$ となる空間で,その次元は $\dim {\cal H}_1 + \dim {\cal H}_2$ である.