２状態間の相違度の尺度

確率分布の場合には２つの分布間の相違度を 相対エントロピー（または Kullback-Leibler のdivergence） $D( p_0 \Vert p_1)$, Hellinger 距離 $d_b( p_0 \Vert p_1)$ や類似度（Affinity） $A( p_0 \Vert p_1)$ などを用いて測ることが多い.（定義については以下）

$$D( p_0 \Vert p_1) := \int \left( \log p_0(\omega)- \log p_1(\omega)\right) p_0(\omega) \,d \omega$$

$$d_b^2( p_0 \Vert p_1) := \int \left( \sqrt{p_0(\omega)}- \sqrt{ p_1(\omega)}\right)^2 \,d \omega$$

$$A( p_0 \Vert p_1) := - 8 \log \int \sqrt{p_0(\omega)} \sqrt{ p_1(\omega)} \,d \omega.$$

ここで,類似度の係数 $8$ は $p_1 \to p_0$ の極限を考えたときに, Fisher 計量に一致するよう定められた.

これらの量の量子力学的対応物として, 量子相対エントロピー $D(\rho_0\Vert \rho_1)$, Bure の距離 $d_b(\rho_0\Vert \rho_1)$, 量子類似度 $A(\rho_0\Vert \rho_1)$ が知られている.（定義については以下）

$$D( \rho_0\Vert \rho_1) := \mathop{\rm Tr}\nolimits \rho_0 (\log \rho_0 - \log\rho_1)$$

$$d_b^2(\rho_0\Vert \rho_1) := 2( 1- \mathop{\rm Tr}\nolimits \vert \sqrt{\rho_0}\sqrt{\rho_1}\vert)$$

$$A( \rho_0\Vert \rho_1) := - 8 \log \mathop{\rm Tr}\nolimits \ve... ...t = - 8 \log \mathop{\rm Tr}\nolimits \sqrt{\sqrt{\rho_0}\rho_1 \sqrt{\rho_0}}.$$

$d_b(\rho_0\Vert \rho_1)$, $A(\rho_0\Vert \rho_1)$ は２つの引数の入れ替えに ついて対称である.

確率分布の場合とは異なり,量子力学系での推定では, 量子相対エントロピー $D(\rho_0\Vert \rho_1)$ が意味のある量と結び付くことは少なく, むしろ,Bure の距離 $d_b(\rho_0\Vert \rho_1)$, 量子類似度 $A(\rho_0\Vert \rho_1)$ を用いた方が有用である場合が多い. 量子相対エントロピー $D(\rho_0\Vert \rho_1)$ はむしろ, 量子系での状態識別や, 通信路符号化などの離散的な問題と結び付く. 特に,純粋な状態の場合,Bure の距離や量子類似度では 発散しないのに量子相対エントロピーだと発散してしまい, 以下に述べる純粋状態からなる状態族の推定では 量子相対エントロピーは全く使えない. ここで $\mathop{\rm Tr}\nolimits \sqrt{\rho_0}\sqrt{\rho_1}$ ではなく, $\mathop{\rm Tr}\nolimits \vert \sqrt{\rho_0}\sqrt{\rho_1}\vert$ を考えていることに注意されたい. $\mathop{\rm Tr}\nolimits \sqrt{\rho_0}\sqrt{\rho_1}$ はむしろ検定（状態識別）的な文脈で重要になる.

なお,片方の引数 $\rho_1$ が純粋であるとき Bure の距離,量子類似度は以下のように簡略化できる.

$$d_b^2( \rho_0\Vert \rho_1)= 2( 1- \sq... ...\quad A( \rho_0\Vert \rho_1)= - 4 \log \mathop{\rm Tr}\nolimits \rho_0 \rho_1 .$$

また, $F( \rho_0\Vert \rho_1):= (\mathop{\rm Tr}\nolimits \vert \sqrt{\rho_0}\sqrt{\rho_1}\vert)^2$ (片方が純粋であるときは $\mathop{\rm Tr}\nolimits \rho_0\rho_1$と一致する) は Fidelity とよばれ, 量子系の種々の議論で重要な役割を果たすことが多い.

その他,確率分布の場合と同様に 量子類似度 $A(\rho_0\Vert \rho_1)$ に対して $\rho_1 \to \rho_0$ の極限を取ることによって, Riemann 計量を定義することができる. この計量は SLD 計量とよばれ,推定で重要な役割を果たす. また,この計量の 2状態 $\rho_0,\rho_1$ 間の状態族内部での測地的距離 $d_r( \rho_0 \Vert \rho_1)$ の２乗を2状態の離れ度合いとして用いる場合もある. なお, $4 d_b^2$ の極限として SLD 計量を定義することも可能である.