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状態及び測定

量子力学系では 扱うべき対象に対して Hilbert 空間 $ {\cal H}$ (Hermite 内積付きの有限次元複素ベクトル空間を含む)が対応する. そして,系の状態は $ {\cal H}$ 上の Hermite 行列(自己共役作用素) $ \rho$ % latex2html id marker 3032
$ \mathop{\rm Tr}\nolimits \rho=1,\quad\rho\ge 0 $ となるもので記述される. このような行列(作用素)のことを 密度行列(密度作用素)という. 特に密度行列 $ \rho$ が1次元射影になるとき, 純粋といい, 純粋でない場合(一次元射影にならない場合)混合という. 任意の状態は純粋な状態の和で(凸結合で)書き表される. 以下,$ {\cal H}$ 上の密度行列全体を $ {\cal S}({\cal H})$ で表す.

一方,$ {\cal H}$ で記述される系への測定は $ {\cal H}$ 上の正値な行列(作用素)による単位行列(単位作用素)の分解 % latex2html id marker 3044
$ M = \{ M_\omega \}_\omega (\sum_\omega M_\omega = \mathop{\rm I}\nolimits , M_\omega \ge 0)$ で記述される. (標準的な量子力学の教科書を読まれた方は, ここで$ M_i$が射影に限られない点を留意していただきたい.) このような単位行列(単位作用素)の分解を POVM (Positive Operator Valued Measure, 正作用素値測度) とよぶ. 量子系の状態が密度行列 $ \rho$ で記述されるとき, POVM $ M$ に対応する測定を行うと 測定値 $ \omega$ の従う確率分布 % latex2html id marker 3054
$ {\rm P}^M_\rho$

% latex2html id marker 3057
$\displaystyle {\rm P}^M_\rho(\omega)=
\mathop{\rm Tr}\nolimits \rho M_\omega$     (1)

となる. ただし,推定などのような連続的な値を持つ状況では % latex2html id marker 3059
$ M= \{ M(\hat{\theta}) \}_{\hat{\theta}} (\int M(\hat{\theta})\,d
\hat{\theta} = \mathop{\rm I}\nolimits )$ となる.

例えば古典的な確率分布 $ p= \{p_1, \ldots , p_d\}$ は Hilbert 空間 $ \mathbb {C}^d$ 上の 対角成分が $ p_1,p_2 , \cdots, p_d$ となる対角な密度行列 $ \rho(p)$ を考え, POVM $ D= \{ D_i \}$ ($ D_i$ は第 $ i$ 番目の基底への射影) を考えると, 上記の定式化は確率分布を含んだ記述になる. 逆にいうと,非対角項に成分を持つ 密度行列が出てくることが (同時対角化が不可能な複数の密度行列が現れることが) 量子系特有の難しさといえる.

そして推定問題では 確率分布を対象にする場合と同様に, 真の密度行列があるパラメトライズされた量子状態族 $ {\cal S}= \{ \rho_{\theta} \in {\cal S}({\cal H})\vert
\theta \in \Theta\}$ に含まれると仮定して議論することが普通である. なお,各密度行列 $ \rho_\theta \in {\cal S}$ が互いに可換であるときは各対角成分への射影を POVM として採用すると 古典論の問題に帰着できる.

以下,本稿で用いる物理の慣習にならったベクトルに関する記法について 述べる.縦ベクトルを $ \vert u\rangle =(u_1\,u_2\,\cdots)^T$, その複素共役転置を $ \langle u\vert=(u_1^*\,u_2^*\,\cdots)$ で表わす. 積 $ \langle u\vert v\rangle $ $ \sum_i u_i^*v_i$,すなわち,Hermite 内積 に等しい.特に, $ \langle u\vert u\rangle =\Vert u\Vert^2$である. また,積 $ \vert u\rangle \langle u\vert$

$\displaystyle \vert u \rangle \langle u \vert=
\left(\begin{array}{c}
u_1 \\ u_...
...s\\
u_2 u_1^* & u_2 u_2^* &\ddots\\
\vdots &\ddots &\ddots
\end{array}\right)$      

となる.この行列のrankが1で,かつ非負定値 Hermite で あることは,すぐに確かめられる.その固有ベクトルは$ \vert u\rangle $, 固有値は $ \langle u\vert u\rangle =\Vert u\Vert^2$であり, とくに $ \langle u\vert u\rangle =\Vert u\Vert^2=1$ならば,$ \vert u\rangle $方向への (一次元)射影になる. ノルムが1であるベクトル $ \vert u\rangle $ を状態とよぶ流儀があるが, 本稿での表現では純粋な状態 $ \vert u\rangle \langle u\vert$ を指していることになる.

Masahito Hayashi 平成13年7月10日