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: 他の理論との比較検討 : 個々の群共変的な純粋状態族 : coherent 状態族


2次項とスカラー曲率の関係

先に扱った状態族での2次項の係数と SLD 内積の Levi-Civita 接続のスカラー曲率の関係に注目する. spin $ \frac{j}{2}$ coherent 状態族, boson coherent 状態族, $ \mathop{\mathfrak {su}}\nolimits (1,1)-\lambda$ coherent 状態族の上記の意味でのスカラー曲率は それぞれ $ 2/j,0,-2/\lambda$ である. スカラー曲率と誤差との関係をまとめると以下のようになる.
  スカラー 誤差の $ \frac{1}{n^2}$ 項の係数    
状態族 曲率 $ A$ $ d_b^2 $ $ 1-F$ $ d_r^2$ % latex2html id marker 4269
$ \log{\rm P}^{M_n}_{\rho^{\otimes n}}\{ A \ge \epsilon \}$ $ \frac{1}{n}$ KL divergence
spin $ \frac{j}{2}$ $ \frac{2}{j}$ $ -\frac{4}{j}$ $ -\frac{1}{j} - \frac{1}{2}$ $ -\frac{1}{j} - 1$ $ -\frac{16}{3}\frac{1}{j}$ $ -\frac{\epsilon}{4}\left(n + \frac{1}{j}\right)$ $ j \sum_{i=1}^{jn} \frac{(1- e^{\frac{\epsilon}{4j }})^i}{i}$
boson 0 0 $ -\frac{1}{2}$ $ -1$ $ 0 $ $ -\frac{\epsilon}{4}n$ $ \frac{\epsilon}{4}$
$ \mathop{\mathfrak {su}}\nolimits (1,1)-\lambda$ $ -\frac{2}{\lambda}$ $ \frac{4}{\lambda}$ $ \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{2}$ $ \frac{1}{\lambda} - 1$ $ \frac{16}{3}\frac{1}{\lambda}$ $ -\frac{\epsilon}{4}\left(n - \frac{1}{\lambda}\right)$ $ \frac{\epsilon}{4}$

スカラー曲率が boson の場合との誤差の2次項の係数の差に比例している. なお,比例定数が負になっていることに注意. すなわち,スカラー曲率が正であるときは 0 であるときに比べて, 誤差が小さくなっており, 逆にスカラー曲率が負であるときは誤差が悪くなっている.

同様に,裾確率についてもスカラー曲率が大きいほど, 小さくなっている. このようなスカラー曲率と推定精度の関連は現在のところ 上記のような特殊例にのみ分かっており, 一般的な関連は全く分かっていない.

また,最後に付け加えた $ \frac{1}{n}$ KL divergence であるが, 他の議論と異なり, $ \mathop{\mathfrak {su}}\nolimits (1,1)-\lambda$ coherent 状態の方が spin $ \frac{j}{2}$ より良くなっており, 推定精度を反映しているとは言えない.



Masahito Hayashi 平成13年7月10日