boson coherent 状態族

boson coherent 状態族を $n$ 次テンソル積拡大した状態族 ${\cal S}_{\infty}^{\otimes n}:= \{ \rho ^{\otimes n} \in {\cal S}(\mathbb {C}^{n+1}) \vert \rho \in {\cal S}_{\infty}\}$ の推定問題を考える. この状態族は先にも述べたように再び boson coherent 状態族になる. そして同様に上半３角行列の表現に関して, 共変的である. このとき,群作用に関して不変な risk 関数 $W(\alpha,\hat\alpha)$ は, 量子類似度 $A(\rho_{\infty,\alpha},\rho_{\infty,\hat\alpha})$ の関数として書ける.

定理 3   risk 関数 $W(\alpha,\hat\alpha)$ が量子類似度 $A(\rho_{\infty,\alpha},\rho_{\infty,\hat\alpha})$ の単調増加関数であれば, 以下に定義する POVM が minimax 解になる.

$$M_n(\,d \hat\alpha) := \frac{n}{\pi} \rho_{\infty,\hat\alpha}^{\otimes n} \,d^2 \hat\alpha.$$

この POVM に対応する測定はヘテロダイン測定とよばれ, 量子光学でも重要な役割を果たす.

risk 関数が $\Vert\alpha-\hat\alpha\Vert^2$ であるときは， Holevo[21]により示され，一般の場合については 林[11]において示された． また,その実現についても比較的容易である[21,4]. 以下この最適な POVM の下での個々の量を risk として用いた場合の 誤差の値を記す. この最適な POVM を行ったときの測定値の従う確率分布は 正規分布なので以下の量の計算は極めて容易である.

$${\cal D}^{A}_{\rho_\infty^{\otimes n}}(M_n) = \frac{4}{n}$$

$${\cal D}^{d_b^2}_{\rho_\infty^{\otimes n}}(M_n) = \frac{2}{2n+1}\cong \frac{1}{n}- \frac{1}{2n^2}$$

$${\cal D}^{1- F}_{\rho_\infty^{\otimes n}}(M_n) = 1- \frac{n}{n+1} \cong \frac{1}{n}- \frac{1}{n^2}$$

$${\cal D}^{d_r^2}_{\rho_\infty^{\otimes n}}(M_n) = \frac{4}{n}$$

$$P^{M_n}_{\rho_\infty^{\otimes n}} \{ A (\rho_\infty \Vert \hat\rho_\infty) \ge \epsilon\} = \exp\left(- \frac{1}{4}\epsilon n\right).$$

参考までに最適な POVM を用いたときにできる 確率分布族 $\{ P^{M_n}_{\rho_{\infty,\alpha}^{\otimes n}}\vert \alpha \in \mathbb {C}\}$ について Kullback-Leibler の divergence を計算する. $A (\rho_{\infty,\alpha} \Vert \rho_{\infty,\alpha'}) =\epsilon$ であるとき,

$$\frac{1}{n}D( P^{M_n}_{\rho_{\infty,\alpha}^{\otimes n}} \Vert P^{M_n}_{\rho_{\infty,\alpha'}^{\otimes n}}) = \frac{1}{4}\epsilon$$

となる. このモデルの場合は, $n=1$ のときの最適測定 $M_1$ を行ったときに得られる確率分布族 $\{ P^{M_n}_{\rho_{\infty,\alpha}^{\otimes n}}\vert \alpha \in \mathbb {C}\}$ が正規分布族になる. したがって, $n$ 粒子系に対して, それぞれ最適測定 $M_1$ を行い, そのデータについて平均を取ると正規分布となり, 合成系に対する最適測定 $M_n$ を行った場合と全く同じ 確率分布になる. したがってこのモデルでは,群共変的な risk 関数を採用する限り 量子相関を用いる効果は全くない.

また, $\mathbb {C}$ がコンパクトではないので この群共変的な POVM $M_n$ がBayes 解になるような事前分布が存在するとは限らない. したがって,ここまでの議論だけではPOVM $M_n$ の許容性は言えない. だが, $M_n$ を固定したときの確率分布族は ２次元の正規分布族なので,非許容性も言えない. （もし,３次元以上の正規分布族であれば, 古典論の結果から直ちに非許容性が言えてしまう.）