next up previous
: boson coherent 状態族 : 個々の群共変的な純粋状態族 : 個々の群共変的な純粋状態族


spin $ \frac{1}{2}$ coherent 状態族とspin $ \frac{j}{2}$ coherent 状態族

spin $ \frac{1}{2}$ coherent 状態族を $ n$ 次テンソル積拡大した状態族 $ {\cal S}_{1}^{\otimes n}:=
\{ \rho ^{\otimes n} \in {\cal S}(\mathbb {C}^{n+1}) \vert
\rho \in {\cal S}_{1}\}$ の推定問題を考える. この状態族は先にも述べたように spin n/2 coherent 状態族であり, 対称テンソル積空間 $ \mathbb {C}^{n+1}$ への % latex2html id marker 3974
$ \mathop{\rm SU}\nolimits (2)$ の表現に関して, 共変的である. このとき,群作用に関して不変な risk 関数 $ W(\rho,\hat\rho)$ は, 量子類似度 $ A(\rho,\hat\rho)$ の関数として書ける.

定理 2   risk 関数 $ W(\rho,\hat\rho)$ が量子類似度 $ A(\rho,\hat\rho)$ の 単調増加関数であれば, 以下に定義する POVM が minimax 解及び群作用不変な事前分布の下での Bayes 解になる.
$\displaystyle M_n(\,d \hat\rho_1) := (n+1) \hat{\rho}_1^{\otimes n} \nu( \,d \hat\rho_1).$     (4)

なお, $ \hat\rho_1$ は推定値として得られる spin $ \frac{1}{2}$ coherent 状態の密度行列を表す. また, Bayes 解であることから, $ M_n$ の許容性が確認できる.

証明については[10]を参照のこと. 以下この最適な POVM の下での個々の量を risk として用いた場合の 誤差の値を記す.
$\displaystyle {\cal D}^{A}_{\rho_1^{\otimes n}}(M_n)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{n+1} \cong \frac{4}{n} - \frac{4}{n^2}$ (5)
$\displaystyle {\cal D}^{d_b^2}_{\rho_1^{\otimes n}}(M_n)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2}{2n+3}\cong
\frac{1}{n} - \frac{3}{2n^2}$ (6)
$\displaystyle {\cal D}^{1- F}_{\rho_1^{\otimes n}}(M_n)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1- \frac{n+1}{n+2} \cong \frac{1}{n} - \frac{2}{n^2}$ (7)
$\displaystyle {\cal D}^{d_r^2}_{\rho_1^{\otimes n}}(M_n)$ $\displaystyle \cong$ $\displaystyle \frac{4}{n} -
\frac{16}{3}\frac{1}{n^2}$ (8)
$\displaystyle P^{M_n}_{\rho_1^{\otimes n}}\{ A (\rho_1 \Vert \hat\rho_1) \ge \epsilon\}$ $\displaystyle =$ % latex2html id marker 4023
$\displaystyle \exp\left(- \frac{1}{4}\epsilon(n+1)\right).$ (9)

参考までに最適な POVM を用いたときにできる 確率分布族 $ \{ P^{M_n}_{\rho_1^{\otimes n}}\vert
\rho_1 \in {\cal S}_{1}\}$ について Kullback-Leibler の divergence を計算する. $ A (\rho_1 \Vert \rho'_1) =\epsilon$ であるとき,
$\displaystyle \frac{1}{n}D\left(\left. P^{M_n}_{\rho_1^{\otimes n}}
\right\Vert...
...
\sum_{i=1}^\infty \frac{(1- e^{\frac{\epsilon}{4}})^i}{i}
= \frac{\epsilon}{4}$      

となる.

以下,「量子相関を用いた推定」と 「量子相関を用いない非適応的な推定」の比較を行う. $ \epsilon$ が十分小さいとき

$\displaystyle D\left(\left. P^{M_1}_{\rho_1}\right\Vert P^{M_1}_{{\rho'}_1}\right)
\cong \frac{1}{4} \epsilon$      

となる.したがって $ \frac{1}{4}$ は確率分布族 $ \{ P^{M_1}_{{\rho}_1}\vert \rho_1 \in {\cal S}_{1}\}$ の Fisher 情報量を表していると考えることができ, 各状態に最適測定 $ M_1$ を行い,得られたデータの MLE(最尤推定量) を推定値とし, risk 関数として $ A(\rho\Vert \hat\rho)$ を用いると, 誤差の $ n$ についての一次の項は $ 4$ となり,差が出ない. しかし,より高次の評価を行うと差が出ると思われる. なお,他の risk 関数を用いても同様の結論が得られる.

次に裾確率の両者の差に注目する. 裾確率 $ P^{M_n}_{\rho^{\otimes n}}\{ A (\rho \Vert \hat\rho) \ge \epsilon\}$$ n$ についての減少率は $ \frac{\epsilon}{4}$ となるが, 「量子相関を用い無い非適応的な推定の場合」 古典論における Bahadur の結果を参考にすると, その減少率は $ \log (1- e^{\frac{\epsilon}{4}})\,< \frac{\epsilon}{4}$ となり,量子相関を用いた場合よりも悪い. したがってここまで細かい議論を行うと 量子相関を用いる効果が見える.

以下,同様に,spin $ \frac{j}{2}$ coherent 状態族について同様の議論を行う. この状態族の $ n$ 次テンソル積拡大は spin $ \frac{nj}{2}$ coherent 状態族に他ならない. したがって,最適な POVM は([*])で与えたものである. ただし,spin $ \frac{j}{2}$ coherent 状態族での 量子類似度,Bure の距離などを用いて誤差評価を行うことになるので, ([*])〜([*])が若干,異なる.

$\displaystyle {\cal D}^{A}_{\rho_j^{\otimes n}}(M_n)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4j}{jn+1} \cong \frac{4}{n} - \frac{4}{jn^2}$  
$\displaystyle {\cal D}^{d_b^2}_{\rho_j^{\otimes n}}(M_n)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2j}{2jn+2 +j}
\cong \frac{1}{n} - \frac{2+j}{2j}\frac{1}{n^2}$  
$\displaystyle {\cal D}^{1- F}_{\rho_j^{\otimes n}}(M_n)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1- \frac{jn+1}{jn+j+1} \cong\frac{1}{n} - \frac{1+j}{j}\frac{1}{n^2}$  
$\displaystyle {\cal D}^{d_r^2}_{\rho_j^{\otimes n}}(M_n)$ $\displaystyle \cong$ $\displaystyle \frac{4}{n} -
\frac{16}{3j }\frac{1}{n^2}$  
$\displaystyle P^{M_n}_{\rho_j^{\otimes n}}\{ A (\rho_j \Vert \hat\rho_j) \ge \epsilon\}$ $\displaystyle =$ % latex2html id marker 4094
$\displaystyle \exp\left(- \frac{1}{4}\epsilon\left(n+\frac{1}{j}\right)\right).$  

なお,$ n$ 次テンソル積拡大での最適な POVM を $ M_n$ で表した.
next up previous
: boson coherent 状態族 : 個々の群共変的な純粋状態族 : 個々の群共変的な純粋状態族
Masahito Hayashi 平成13年7月10日