ミニマックス法,Bayes 法,許容性

量子系 ${\cal H}$ 上の状態族 ${\cal S}= \{ \rho_{\theta} \in {\cal S}({\cal H})\vert \theta \in \Theta\}$ に対する推定量は パラメータ空間 $\Theta$ 上に値を持つ ${\cal H}$ 上の POVM $M$ で記述される. この推定量の精度は 真値が $\theta$ であるときに推定値を $\hat{\theta}$ としたときの誤差を 表す関数 $W( \theta, \hat{\theta})$ （risk 関数） を用いて以下で定義される.

$${\cal D}_{\theta}^{W}(M):= \int_{\The... ...heta,\hat{\theta}) \mathop{\rm Tr}\nolimits M(\,d \hat{\theta}) \rho_{\theta} .$$

$W$ としては パラメータ空間 $\Theta$ が $\mathbb {R}^d$ の部分空間であるときは 平均2乗誤差 $MSE(\theta,\hat\theta):= \Vert \theta- \hat\theta\Vert^2$ がよく使われる. 他に $D( \rho_{\theta}\Vert \rho_{\hat\theta}),A( \rho_{\theta}\Vert \rho_{\hat\thet... ...ho_{\theta}\Vert \rho_{\hat\theta}), 1-F( \rho_{\theta}\Vert \rho_{\hat\theta})$ などが使われる. 後に述べたこれらの量は全て 座標の取り方に依存せず, またユニタリ行列（作用素）の作用の下で不変である.

推定量の最適化の基準としてミニマックス法では

$${\cal D}^{W}(M):= \sup_{\theta \in \Theta} {\cal D}_{\theta}^{W}(M)$$

を最小化する $M$ を選ぶ戦略が取られる. また,Bayes 法では

$${\cal D}^{W,\nu}(M):= \int_{\Theta} {\cal D}_{\theta}^{W}(M) \nu(\,d \hat\theta)$$

を最小化する $M$ を選ぶ戦略が取られる. ここで$\nu$ は事前分布とよばれ, あらかじめ適当にパラメータ空間上に定義された確率分布である. 特に，事前分布 $\nu$ の下での Bayes 法で risk 関数を $-\delta(\theta-\hat\theta)$ に用いた場合 は最尤法の量子版とみなすことができる． もし，状態族 ${\cal S}$ が互いに可換な密度行列ならなるのであれば， 古典的な場合の最尤法と一致する． ただし，一般には状態族 ${\cal S}$ に属する密度行列は互いに非可換であり， その場合には， risk 関数が $-\delta(\theta-\hat\theta)$ であっても， Bayes 解は事前分布 $\nu$ に依存する．

２つの推定量 $M_1,M_2$ について

$${\cal D}^{W}_\theta(M_1) \ge {\cal D}^{W}_\theta(M_2), \quad \forall \theta \in \Theta$$

が成り立ち,少なくとも１つの $\theta \in \Theta$ で

$${\cal D}^{W}_\theta(M_1) \,> {\cal D}^{W}_\theta(M_2)$$

が成り立つとき, $M_2$ は $M_1$ に対して優越するという. 推定量 $M$ に対して優越する推定量が存在しないとき $M$ は許容的であるという.