２種の大偏差型限界

量子力学系においては２つの密度演算子 $\rho,\sigma$ を識別する指標として 少なくとも以下の２つの情報量 (量子相対エントロピー $D( \rho \Vert \sigma )$, 量子類似度 $I( \rho \Vert \sigma )$) を考えることができる.

$$D( \rho \Vert \sigma ) := \mathop{\rm Tr}\nolimits ( \log \rho - \log \sigma )\rho$$

$$I( \rho \Vert \sigma ) := - 8 \log \mathop{\rm Tr}\nolimits \sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sq... ... \log \mathop{\rm Tr}\nolimits \left\vert \sqrt{\rho} \sqrt{\sigma} \right\vert$$

これらの情報量は以下の性質を満たす.

$$D( \rho^{\otimes n} \Vert \sigma^{\otimes n}) = n D( \rho \Vert \sigma )$$

$$D ( \rho \Vert \sigma) \ge D( {\rm P}^M_{\rho} \Vert {\rm P}^M_{\sigma} )$$ (1)

$$I ( \rho \Vert \sigma ) = I (\sigma \Vert \rho) , \quad I (\rho^{\otimes n} \Vert \sigma^{\otimes n}) = n I( \rho \Vert \sigma )$$

$$I( \rho \Vert \sigma) \ge I( {\rm P}^M_{\rho} \Vert {\rm P}^M_{\sigma} )$$ (2)

不等式()において等号を達成する $M$ は存在する. 一方,不等式()においては $\rho \,> 0 ,\sigma \,> 0$ かつ 互いに非可換であるときは等号を達成する $M$ は存在しない. しかし $\sigma$ にのみ依存して以下の等式を満たす POVM の無限列 $\{ M^n \}$ が存在する.

$$D (\rho \Vert \sigma) = \lim_{n \to \infty} D ( {\rm P}^{M^n}_{\rho^{\otimes n}} \Vert{\rm P}^{M^n}_{\sigma^{\otimes n}})$$ (3)

次に, Fisher 情報量の類似物を定義する.

$$\tilde{J}_{\theta}:= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{2 D(\rho_{\theta... ...silon \to 0} \frac{ I(\rho_{\theta+\epsilon} \Vert \rho_{\theta})} {\epsilon^2}$$

前者 $\tilde{J}_{\theta}$ は Bogoluigov 内積（久保-森 内積）と呼ばれ, 後者 $J_{\theta}$ は SLD-Fisher 内積と呼ばれる.

以下モデルに対して以下の対称対数微分(SLD) $L_{\theta}$ (()を満たす)が存在する という意味での正則性を課す.

$$\frac{\,d \rho_{\theta}}{\,d \theta} = \frac{1}{2}\left( L_{\theta} \rho_{\theta} + \rho_{\theta} L_{\theta}\right)$$ (4)

このとき $J_{\theta}= \mathop{\rm Tr}\nolimits L_{\theta} \rho_{\theta} L_{\theta} \le \tilde{J}_{\theta}$ が成り立つ. 特に $\rho_{\theta} \,> 0$ であるときは,

$$J_{\theta}= \sup_{M : {\rm POVM}} J^M_{\theta}$$ (5)

となる. ここで確率分布族 $\{ {\rm P}^M_{\rho_{\theta}} \vert \theta \in \Theta \}$ の Fisher 情報量を $J^M_{\theta}$ で表した. 特に()において $\sup$ を実現する POVM は $L_{\theta}$ のスペクトル分解で与えられる.

以下推定量の無限列 $\vec{M}= \{ M^n \}$ に２種の一致性条件を考える. （一般に量子力学系では推定量はパラメータ空間 $\Theta$ 上の POVM で与えられ,推定値は $\hat{\theta}$ で表すことにする. 特に, $n$ 個のシステムからなる合成系 ${\cal H}^{\otimes n}$ 上の 推定量を $M^n$ で表す.）

定義 1   推定量の無限列 $\vec{M}= \{ M^n \}$ が以下の条件を満たすとき弱一致と呼ぶ ことにする.

$$\lim_{n \to \infty} {\rm P}^{M^n}_{\rho^{\otimes n}} \left\{ \lef... ...psilon \right\} = 0, \quad \forall \epsilon \,> 0 , \forall \theta \in \Theta .$$

推定量の無限列 $\vec{M}= \{ M^n \}$ に対して以下の量

$$\beta(\vec{M}, \theta, \epsilon ):= \lim_{n \to \infty} \frac{- 1... ...n}} \left\{ \left\vert \hat{\theta } - \theta \right\vert \,> \epsilon \right\}$$

を考え, 推定量の無限列 $\vec{M}= \{ M^n \}$ が以下の条件を満たすとき強一致と呼ぶ ことにする; 以下の右辺の収束が局所一様であり,かつその極限値 $\alpha(\vec{M},\theta)$ が $\theta$ に関して連続となる.

$$\alpha(\vec{M},\theta):= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\beta(\vec{M}, \theta, \epsilon )}{\epsilon^2}$$

これらの準備の下で以下の定理を得る.

定理 2   推定量の無限列 $\vec{M}= \{ M^n \}$ が弱一致推定量であるとき, $\alpha(\vec{M},\theta) \le \frac{\tilde{J}_{\theta}}{2}$ となり, $\theta$ に依存して等号を達成する推定量が存在する.

定理 3   推定量の無限列 $\vec{M}= \{ M^n \}$ が強一致推定量であるとき, $\alpha(\vec{M},\theta) \le \frac{J_{\theta}}{2}$ となり, $\theta$ に依存せずに等号を達成する推定量が存在する.

定理,定理の不等式はそれぞれ量子相対エントロピー $D( \rho \Vert \sigma )$, 量子類似度 $I( \rho \Vert \sigma )$ の単調性 ()及び() から比較的容易に示すことができる. 逆に等号を達成する推定量の構成はやや困難である. 定理の等号を達成する推定量は()で等号を達成する測定の 無限列を利用して構成することになる. 一方,定理の等号を達成する推定量は()及び 文献[2]を参考にすると構成できる.

本発表で扱った議論は未知パラメータが１つの場合でも２種の大偏差型限界 が現れるという意味で文献[2]の議論と異なる.