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複素関数論(2011年度前期・木3 / 理1-109 / 川平) 講義日誌

講義で配布したプリントをまとめたものはこちらです→ ( 11S-kansuron-all.pdf )

第13回(2011/7/21) 期末試験
● 試験範囲は第7〜12回の分でした.
● 平均点は問1から順に22.8,22.7, 21.8, 21.7で, 合計点の平均は89/100と,とてもよく出来ていました.
● 成績の分布は90点台が32名, 80点台21名,70点台4名,それ未満が2名でした.
◎ 期末試験の返却はいたしません.

第12回(2011/7/14) コーシーの積分定理 (2)
● コーシーの積分定理の応用例として, いくつか(試験にでる類の)積分の計算方法を紹介しました.
● グリーンの定理を証明し,これを用いてコーシーの定理を証明しました.

第11回(2011/7/7) コーシーの積分定理
● 線積分の計算例を少しやったあとコーシーの積分定理を定式化しました.
● 諸定理の証明は来週に回します.

第10回(2011/6/30) 複素線積分
● 複素線積分を定義し,意味(仮想的な短冊の和,もしくは 細かくなっていく折れ線)を確認しました.
● zのべき乗の単位円に関する積分を計算しました.

第9回(2011/6/23) コーシー・リーマン方程式の応用
● 中間試験の返却・講評で20分以上かかってしまいました.
● 先週の続き.正則性の必要条件としてCRが出てくることの証明. これを「正則でない」関数を判定するのに応用.
● 次に正則性を与える十分条件を証明.最後に 応用として,指数関数と三角関数の微分を計算しました.

第8回(2011/6/16) 正則性とコーシー・リーマン方程式
● 微分の公式(ライプニッツ則など)を確認.
● 連続性の定義.微分可能であれば連続であることを証明.
● 正則性の定義.さらに,正則関数を2次元写像としてみた場合, ヤコビ行列が計算できて拡大と回転になること, さらに正則性の必要条件としてのコーシーリーマンの(微分)方程式が 現れることを確認しました. 十分条件がどのようになるのかは,次回に.

第7回(2011/6/9) 中間試験
● 第6回までの授業内容を試験範囲としました.
● 平均点は問1から順に16.0,15.7, 14.7, 12.4, 11.3で, 合計点の平均は70.1/100でした.
● 成績の分布は90点以上が8名, 以下10点刻みで17名,8名,7名(ここまで合格圏内), 10名, 5名,2名,2名でした.

2011/6/2は名大祭のためお休みです.

第6回(2011/5/26) 複素関数の微分
● 複素関数の微分可能性を定義しました. 微分可能性が「局所的には(ほぼ)回転・拡大」である, ということを強調しました.
● ついでに開集合・領域等の用語も定義しました.
● Mathematicaで,zの2乗で与えられる関数が 「局所的には(ほぼ)回転・拡大」となってることを見る デモンストレーションをやりました.

第5回(2011/5/19) 対数関数
● 最初にquiz(小テスト)をやりました.解答・雑談もこみで40分も つかってしまいました.
● 複素数の対数関数と複素数の複素数べき乗を定義しました. 多価関数というのは,扱いづらく,教えづらいものです.

第4回(2011/5/12) 指数関数と三角関数
● まず指数関数の定義・指数法則を復習. とくに,周期関数であることを新たに注意しておきました.
● その周期性を念頭におきつつ,1のN乗根について解説.
● つぎに指数関数が写像として平面を平面へ どのように写すかを説明. Mathematicaを使って,動的デモンストレーション.
● 最後の15分で三角関数とその基本公式を確認. サインのゼロ点が実の場合と変わらないことを足早に確認して おわりました.
● 今日は教務主催のアンケートも実施しました. ばたばたしていて,プリントを配るのを忘れていました. 明日までに準備しておきます.
★  レポート問題3-1に重大な間違いがあったので, しらっと直しておきました.(上のファイル参照.)

第3回(2011/4/28) 指数関数とオイラーの公式
● 授業のはじめに,Mathematicaを使って級数を折れ線で表現するデモンストレーションをやりました.
● 今回は指数関数を級数で定義し,それが実際に収束すること を証明するのが目標でした. 多くの教科書ではオイラーの公式を定義として採用し 複素数の指数関数を定義していますが, これでは公式の面白さが半減してしまいます. 数理学科の授業なので,もうちょっと深い理解を目指そう, というわけです.
● 三角不等式に始まり,コーシー列,級数の絶対収束など重要事項を手短に解説したあと,一気に証明しました.ただし,実数の場合指数関数を定義する級数が収束する, という結果は既知としました. (基本的に実微分積分の結果は認める,というスタンスです.)
● 最後に,指数法則を証明しました. 応用として,極形式を指数関数で簡単に表示し, ド・モアブルの公式をさらりと導きました.
● 授業の残り時間(5分くらい)で,本当は先週やるつもりでできなかった, 簡易アンケートを実施しました. 板書が見づらくないか,講義が難しすぎないか, をチェックするためのものです. おおむねポジティブな回答を頂いてますが, ネガティブな回答も2〜4%あるので反映させたいと思います.

第2回(2011/4/21) 複素数列・級数・オイラーの公式
● 複素数の和・積を図示,ド・モアブルの公式をやって40分ほど.
● 複素数列の収束をイプシロン・デルタ式に定義.
● 複素級数の収束を定義.「折れ線」を使って収束性を直感的に議論.
● 特殊な場合としてオイラーの公式を導きました. 「指数関数を定義する級数が収束する」ことを幾何学的に説明して終了.

第1回(2011/4/14) 複素数と複素平面
● シラバスを配布して自分とTA・若狭くんの紹介をしたあと, さっそく複素数の定義からスタート. 数理学科なので,それなりにきっちりと(ハミルトン風に)定義しました.
● 実部・虚部・共役複素数の定義,複素平面を定義し, 絶対値・偏角・極表示までいったところで終了.
● 本来はド・モアブルの公式まで行きたかったのですが, 来週に持ち越しです.

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