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名古屋微分方程式セミナー 2011年度

セミナー世話人:杉本充 菱田俊明 津川光太郎 加藤淳



1月16日(月)
講師:岩渕 司 氏(東北大学大学院 理学研究科)
題目:Small solutions for the Navier-Stokes equations in Besov spaces and Triebel-Lizorkin spaces
 本講演では、Navier-Stokes 方程式の初期値問題を考え、Besov 空間と Triebel-Lizorkin 空間において考察します。 既存の研究では、尺度不変性が成立する関数空間において、解の一意存在と初期値への連続依存性が成り立つ場合(適切性)と、成り立たない場合(非適切性)が示されております。 本講演では適切性が示されている空間だけでなく非適切性が示されている空間も用いて解が得られるということを示します。
 尚、本講演の内容は中村誠氏 (東北大学) との共同研究に基づきます。

12月12日(月)
講師:Keith Rogers 氏(Instituto de Ciencias Matemáticas)
題目:On the fractal dimension of divergence sets for Schrödinger equations
 We will consider the Schrödinger equation, i∂tu+Δu=0, in R1+1, with initial data u0 in potential spaces H s(R). Carleson proved that the solution converges, almost everywhere with respect to Lebesgue measure, to u0 along the straight lines t→(x,t ) as t→ 0 when s≥1/4. We improve this result in two ways. Firstly we show that the convergence holds everywhere apart from a set of Hausdorff dimension less than or equal to 1-2s when 1/4≤s≤1/2, and that this is sharp. Secondly we will prove that the convergence holds when the straight lines are replaced by continuously differentiable curves. This allows us to refine results of Sjögren-Torrea and Yajima for the quantum harmonic oscillator. This is joint work with J.A. Barceló, J. Bennett, A. Carbery and S. Lee.

12月5日(月)
講師:古谷 康雄 氏(東海大学)
題目:The Laplace equation on Lipschitz domains ー 特異積分と偏微分方程式の接点 (Kenigらの仕事) 
 Laplace 方程式 Δu = 0 in Ω, u = f on ∂Ω の解の存在は境界と f がともに十分滑らかな場合は古くから知られていたが,境界が C1 さらに Lipschitz の場合は特異積分の理論と密接に結びついている. この問題を解くための1つの方法である layer potential method を実解析の視点から解説してみたい.

11月28日(月)
講師:水谷 治哉 氏(京都大学 数理解析研究所)
題目:Parametrices and Strichartz estimates for Schrödinger equations with variable coefficients
 漸近的平坦な係数を持った変数係数シュレディンガー方程式の初期値問題に対する、ストリッカーツ評価と呼ばれるある種の平滑化作用について考察する。ポテンシャルが遠方で減衰すれば、時間局所ストリッカーツ評価が Bouclet-Tzvetkov (2007) によって得られている。 この講演では、ポテンシャルが遠方で増大する場合について、最近得られた結果を紹介する。 特に、証明の鍵となる時間発展群のパラメトリックスの構成について詳しく述べる。 また、散乱多様体の場合や漸近的平坦でない場合への拡張ついてもお話ししたい。

11月21日(月)
講師:岡部 考宏 氏(東北大学大学院 理学研究科)
題目:Lower bound of L2 decay of the Navier-Stokes equations in the half space Rn+
 本講演では、n 次元半空間上のナビエ・ストークス方程式の解のエネルギー減衰を考察する。 エネルギー減衰については、Leray が問題提起して以来、盛んに研究がおこなわれており、我が国の研究者が重要な貢献をしている。 全空間の場合については、Fourier変換を駆使した手法を用いて、線形ストークス流の解析を行うことで、 エネルギー減衰の下からの評価が確立されている。 しかしながら、半空間の場合には、Fourier変換があまり有効でなく、詳細なエネルギー減衰の下からの評価は得られていなかった。
 本講演では、鵜飼氏により導出されたストークス流の解公式を用いて、減衰の下からの評価を確立し、遅い減衰を引き起こすような、初期値の特徴を紹介する。 可能であれば、初期値の具体例についても紹介したい。

11月7日(月)
講師:石井 克幸 氏(神戸大学大学院 海事科学研究科)
題目:面積最小化問題に関連した非等方的平均曲率流に対する近似スキーム
 本講演では、面積最小化問題に由来する、非等方的平均曲率流の近似スキームの収束について考える。
 2004 年、Chambolle は変分法による平均曲率流の近似スキームを提案し、その収束や数値計算法について論じた。彼の得た収束は測度論的なものであるため、近似曲面の平均曲率流への収束については明確でない。我々は Chambolle による近似スキームを非等方的な場合に拡張し、そのスキームで構成された曲面が Hausdorff 距離の意味で非等方的平均曲率流に収束することについて論じたい。
 尚、Chambolle による近似スキームは、Almgren - Taylor - Wang による、面積汎関数に対する勾配流の時間離散近似とも関連がある。時間があれば、この点についても簡単に触れたい。
 本講演の内容は江藤徳宏、儀我美一両氏との共同研究に基づく。

10月31日(月)
講師:加藤 淳 氏(名古屋大学大学院 多元数理科学研究科)
題目:長距離型 Hartree 方程式に対する縮小写像の方法
 この講演では, クーロンポテンシャルを伴う Hartree 型の非線型項を持つ非線型 Schrödinger 方程式を考察する. この方程式に関しては, 小さな初期値に対し時間大域解が存在し, 解は時間無限大で自由解の位相に修正(非線型項の寄与)を加えたものに漸近することが Hayashi-Naumkin (1998) により示されているが, 時間大域解の存在の証明には, continuation argument が用いられている.
 この講演では, この問題が縮小写像の方法を用いて解ける問題に帰着できることを紹介する. 更に, 初期値に小ささを仮定しない場合への応用についても考察する.

10月3日(月)
講師:中塚 智之 氏(名古屋大学大学院多元数理科学研究科)
題目:On uniqueness of solutions to the stationary Navier-Stokes equations in exterior domains
The purpose of this talk is to show a new uniqueness criterion of solutions to the stationary Navier-Stokes equations in three-dimensional exterior domains. Kozono-Yamazaki proved the solvability of the exterior problem by introducing the weak $L^p$ space, and we consider the solutions in their class. Using the dual equation and the regularity theorem for the Stokes equation, we show that if the solutions $u$ and $v$ satisfy the conditions that $u$ is small in the weak $L3$ space and $u,v \in L^p$ for some $p>3$, then $u=v$.

9月26日(月)
講師:Jens Wirth 氏(University of Stuttgart)
題目:On the large-time asymptotic behaviour for some wave models
During the first part of the talk we will review some results on the large-time behaviour of solutions to particular wave models. This will relate to both energy and dispersive type estimates, paying particular attention to issues of sharpness with respect to assumptions made on coefficients as well as conditions imposed on initial data.
In a second part of the talk we will concentrate on a model with scale-invariant weak dissipation and discuss large-time asymptotic expansions of solutions in energy space / suitable Besov spaces.

7月11日(月)
講師:Neal Bez 氏 (University of Birmingham)
題目:Local and global multilinear Radon transform estimates
A number of problems in dispersive PDE and harmonic analysis require estimates on certain multilinear forms which are given by an integration over an associated submanifold of euclidean space. We refer to estimates of this type as multilinear Radon transform estimates, and it is natural to look for $L^p$-improving properties of these objects. In this talk, we describe some recent results of this type and give some examples to illustrate how they apply to problems in dispersive PDE and euclidean harmonic analysis.

6月27日(月)
講師:宇佐美 広介 氏(岐阜大学工学部数理デザイン工学科)
題目:任意の非線型項をもつ2階微分方程式の正値解の漸近解析
微分方程式の解を考察する際に, その非線型項には色々な仮定をおかれる. まず冪乗関数で考えるというのは基本的な発想であろう. それを一般化して単調性や増大度(あるいは減衰度)評価を仮定したりもする. 本講演では非線型項に単調性等の仮定を置かなくても無限遠点における正値解の 存在のための必要and/or十分条件んが得られることを特に2階の常微分方程式 で例示してみる. 行う計算法は実はエネルギー等を計算するときによく行う計算である. 既存の結果が適応不可能なクラスの方程式に対して本質的に新しい結果を 例示することができる. また, この結果と比較定理を用いて半線型ラプラス方程式の無限遠点における ある挙動(対数的, もしくはニュートンポテンシャル的挙動) の正値解の存在のための必要and/or十分条件が得られることも紹介したい.

6月6日(月)
講師:池畠 良 氏(広島大学大学院教育学研究科)
題目:ある変数係数波動方程式のエネルギー減衰率
We consider the Cauchy problem on ${\bf R}^{n}$ for wave equations with a critically decaying damping term as $\vert x\vert \to +\infty$. In this talk, through a multiplier method we shall introduce our new results concerning the decay rate of the total energy as $t \to +\infty$. Joint work with G.Todorova (Tennessee Univ.,USA) and B.Yordanov(Tennessee Univ.,USA).

5月30日(月)
講師:望月 清 氏(首都大学東京理工学研究科 名誉教授)
題目:Resolvent estimates for magnetic Schr\"odinger operators and smoothing effect for related evolution equations
In this talk we consider the magnetic Schr\"odinger operator with a singular external potential. Uniform resolvent estimates are proved under suitable decay and smalleness conditions on the magnetic field (not on the magnetic potential) and the external potential. The results are used to obtain smoothing properties for corresponding Sch\"odinger and Klein-Gordon evolution equations.

5月23日(月)
講師:Jayson Cunanan 氏(名古屋大学留学生センター)
題目:Bernstein-Szeg\"o inequality on a generalized Sobolev space
Let $\varphi : R → C$ be a square integrble function with a non-negative, bounded and integrable Fourier transform $\hat{\varphi}$. Define a Hilbert space $H_w$ consisting of all square functions $f : R →C$ such that $\| f \|_w^2= \int_R |\hat{f}(\xi)|^2 w(\xi) d\xi < \infty$, where $w^{-1}=\hat{\varphi}$. Exploiting the reproducing kernel property of $H_w$, we obtain sharp Berstein-Szeg\"o type inequalities for elements of $H_w$. Moreover, we derive an $L^2$ version of the extended classical Berstein-Szeg\"o inequality by Duffin and Schaeffer.

5月16日(月)
講師:三浦 英之 氏(大阪大学理学研究科)
題目:Asymptotics of small exterior Navier-Stokes flows with nonhomogeneous boundary data
We consider the incompressible Navier-Stokes equations in an exterior domain with nonhomogeneous boundary data. Borchers-Miyakawa showed the stability of the small stationary flows in weak L^3. Under some additional assumptions on the initial datum, we prove that the solution converges to the sum of the stationary flow and a self-similar vector field as time goes to infinity. The self-similar part is the solution of perturbed Navier-Stokes equations related to Landau's solutions. This is joint work with Tai-Peng Tsai and Kyungkuen Kang.

5月9日(月)
講師:澤野 嘉宏 氏(京都大学大学院理学研究科)
題目:Olsen's inequality and its applicatios to the MHD equations
The aim of this talk is to obtain a sharp version of the Olsen inequality in terms of Orlicz norms and to apply it to the MHD equations. Our new result will loosen the assumption needed for the uniqueness of the solutions. We want to propose a new result that promises many applications to PDE in general and we intend to take up the MHD equations just as an example.

4月25日(月)
講師:澤田 宙広 氏(岐阜大学工学部)
題目:非有界領域におけるヘルムホルツ分解とストークス半群
非有界領域(境界も非有界)における流体運動を考える。 具体的には、粘性非圧縮流体の運動を記述する ナヴィエ・ストークス方程式の初期値境界値問題を考え、 粘着境界条件下での時間局所解の一意存在を議論する。 この状況における弱解の存在はMasudaによって示された。 また強エネルギー不等式を満たす弱解についても、 Farwig-Kozono-Sohrが緻密な理論を構築している。 本講演では、ヘルムホルツ分解が成り立つ領域において、 境界が適当な滑らかさを有する時に、ストークス作用素が 通常のルベーグ空間にて解析半群を生成する事を示す。 証明には対応するリゾルベント問題を考える。 ヘルムホルツ分解から、弱ノイマン問題の可解性及び 解がある程度の滑らかさを持つ事が従う。 局所化した解をはり合わせる事でレゾルベントをノイマン 級数で表現し、最大正則性原理を用いて有益な評価を得る。 講演では鍵となる半空間での評価について詳しく述べる。

4月18日(月)
講師:一ノ瀬 弥 氏(信州大学理学部)
題目:On the continuity and the differentiabilty of solutions with respect to parameters to the Schroedinger equations and the Dirac equations
The continuity and the differentiabilty of solutions with respect to parameters to ordinary differential equations are fundamental results as is well known. On the other hand, as far as the speaker knows, there is no description at all for solutions to partial differential equations.
In this talk we prove the continuity and the differentiabilty of solutions with respect to parameters to the Schroedinger equations and the Dirac equations.
The method of proving this result consists of : (1) the introduction of weighted Sobolev spaces. (2) the uniquness of solutions. (3) the abstract Ascoli-Arzela theorem. So this method seems to be able to be applied to non-linear equations too, though it is not tried by the speaker.


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