接触幾何学，特異点論，そして応用数学

辻 幹雄 (京都産業大学理学部)

§１. 接触幾何学と葉層構造接触幾何学、及び葉層構造は歴史的には微分方程式を研究する為の方法として導入された。先ず私の立場からそれらの理論を解説したい。例１．１階偏微分方程式の解法 z = z(x, y) を未知関数とし、 p = ∂z/∂x, q = ∂z/∂yと書くとき、１階偏微分方程式 f(x, y, z, p, q) = 0 の解を求める方法について考える。要は R^{5} に於ける曲面 S : f(x, y, z, p, q) = 0 の上において接触構造 dz = pdx + qdy を満たす部分多様体を求めればよいのである。それを求めるのが特性曲線の方法である。幾何学的に述べると解曲面は hamiltonian flow が織り成す曲面を (x, y, z) - 空間に射影したものとして得られる。ここに葉層理論の原型を見ることが出来る。例２．２階偏微分方程式の解法更に r = ∂^{2}z/∂x^{2}, s = ∂^{2}z/∂x∂y, t = ∂^{2}/∂y^{2}と書くことにして、２階偏微分方程式 f(x, y, z, p, q, r, s, t) = 0 の解法について考える。この場合も、幾何学的解曲面は R^{8} に於ける曲面 S : f(x, y, z, p, q, r, s, t) = 0 の上において 2 次の接触構造

dz = pdx + qdy, dp = rdx + sdy, dq = sdx + tdy

を満たす部分多様体として得られる。この過程において、最も基本的な箇所は（例１）に於ける様に hamiltonian flow をどの様に決定するかである。この部分は少し長いので講演中に述べる。上記の例から判る様に、幾何学と解析学の問題意識の差を次の様に述べることが出来る：「幾何学では、最初に多様体があり、それに葉層構造が入るかどうかを議論する」が「偏微分方程式では葉層の方法に依り多様体（解曲面）を構成する」のである。

§2 . 解析的手法と幾何学的手法接触構造とか葉層構造の概念は既に１９世紀に導入された。そして、それらは、微分方程式論における中心的な手法であった様に思われる。２０世紀に入って様相は一変する。量子力学の発展と共に線形偏微分方程式が脚光を浴びる様になった。実際、量子力学における基礎方程式である Schrödinger 方程式は線形であり、それをを考察する場として Hilbert 空間が用いられる様になった。この様にして関数解析的手法による偏微分方程式の研究が市民権を得る様になり、更にその手法はたちまち偏微分方程式論における中心的な地位を占める様になった (現在は？）。しかし、関数解析的手法は万能ではない。この手法が不得手とする問題は「解の特異点の構造に関する研究」である。１９世紀においても非線形問題はよく研究されたが、１９世紀の研究の欠点の１つは概ね「局所論であった」という点である。大域論を展開しようとすれば特異点が現れる。実際、双曲型曲面に関する研究から、 D. Hilbert は既にこの事実を指摘している (D. Hilbert, Trans. A. M. S., vol. 2 (1901), p. 87-99)。その後の双曲型曲面に関する研究は特異点が現れる為あまり進展してない。

§3 . 応用数学

非線形型偏微分方程式が本格的に研究され始めたのは、第２次大戦後である。その嚆矢となったのは数値計算である。先ず注目されたのは、 E. Fermi, J. R. Pasta and S. Ulam による非線型エルゴード問題に関する数値実験であった (Los Alamos Report No.1940. May, 1955(unpublished))。これに関連して N. J. Zabusky (J. Math. Physics, 3 (1962), p. 1028

- 1039) が「非線形波動方程式は古典解 (=なめらかな解) を大域的にもたない」ことを証明した。この後、古典解の lifespan とか、弱解 (=特異性をもつ解) について沢山の論文が発表されたが、まだ決定的な段階に達していない。その理由は方法が主として関数解析的なので exact に解を構成していないのである。それに反して幾何学的手法は exact に解を表現する事を時には可能にする。その exact solution を眺めていると、「これまで用いられてきた弱解の定義自体が欠陥を持っているかもしれない」ことを示唆する例を作ることが出来た。この様な例を通して、幾何学的手法の有効性を解説したい。