WKB-exactness in path integral (WKB 近似で正確に解ける経路積分について)

迫田誠治^{∗}

INTRODUCTION

非相対論的量子力学，場の量子論，あるいは物性論の種々の問題にしても，物理の問題というのは，たいていの場合解けない．そこで，何らかの工夫をして，例えば摂動論に訴えるなどして，近似的にでも問題を解決しようとする．経路積分の方法で言えば，強力かつ直観的な近似法として WKB 近似をあげることが出来る．ところが，一見複雑な問題が WKB 近似で正確に解けてしまうことがある．この講演ではそのような例としてグラスマン多様体 G_{N,n} ≃ U(N)/(U(n) × U(N − n)) を相空間とする系の量子論を記述する経路積分をユニタリ群のコヒーレント状態を用いて構成し，その性格について議論する．

最も単純な例はスピンの経路積分である．準備として次のような古典力学を考える．複素変数ξ(ξ̄) ∈ C の関数:

F_{0} = \frac{p}{2} , F_{1} = \frac{p}{2} \frac{ξ̄+ ξ}{1 + |ξ|^{2}} , F_{2} = \frac{ip}{2} \frac{ξ̄− ξ}{1 + |ξ|^{2}} , F_{3} = \frac{p}{2} \frac{1 − |ξ|^{2}}{1 + |ξ|^{2}} , p > 0 . (1)

を考えて，それらの間に {ξ, ξ̄} = −i(1 + |ξ|^{2})^{2}/p というポアッソン括弧を設定すればU(2) の代数 {F_{i}, F_{j}} = ϵ_{ijk}F_{k}, (i, j, k = 1, 2, 3) {F_{0}, F_{i}} = 0 が成り立つ． 4 つの関数 F の線形結合をハミルトニアンとするとき，この系の運動は，作用関数

S = ∫_{t_{a}}^{t_{b}} dt \{\frac{ip}{2} \frac{ξ̄ξ̇ − ˙ ξ̄ξ}{1 + |ξ|^{2}} − ∑_{μ=0}^{3} h_{μ}F_{μ}\} , h_{μ} ∈ R .  (2)

によって記述される．そこで，ナイーブな期待として，「連続版経路積分」

∫_{PBC} ∏_{0≤t≤T} \frac{pdξ(t)dξ̄(t)}{π(1 + |ξ(t)|^{2})^{2}} exp [i ∫_{0}^{T} dt \{\frac{ip}{2} \frac{ξ̄ξ̇ − ˙ ξ̄ξ}{1 + |ξ|^{2}} − ∑_{μ=0}^{3} h_{μ}F_{μ}\}]  (3)

∗舟橋久仁生 (九大), 柏太郎 (九大), 藤井一幸 (横浜市大) の三氏との共同研究による．

によってこの系の量子論が記述されると考えるかもしれない． (ここで上式 (3) は量子論のハミルトニアン h_{μ}F̂_{μ} に対応する時間発展演算子 e^{−ih_{μ}F̂_{μ}T} の対角和を表すものと考えている． “PBC” は周期境界条件ξ(0) = ξ(T) を表しこれは対角和に起因する． )

このような形式的な定義にもとづいて，この種の経路積分は WKB 近似で厳密な結果が得れる例であるとの主張がしばしばあった．また，それは古典論における Duistermaat-Heckman の定理 [1] の量子論版であるとも言われた [2]．しかしながら， (3) のような連続版経路積分にそのはっきりとした意味づけを与えない限り，このような主張は意味がない．この点を明確にしつつ (3) に対応するコヒーレント状態 [3–4] を用いた経路積分を構成することにより，上のような主張をきちんと確かめることが出来る [5–9]．自然な一般化として G_{N,n}上に定義されるU(N) のコヒーレント状態を用いた経路積分が同様の性格を持つものと期待される．これが実際そうであることを具体的にコヒーレント状態の定義から経路積分の構成を通して示すことが出来る [8]．またこのようなことは何が理由で起きるのか，そのからくりを説明する．

また，余裕があればその他のよく知られらた解ける問題との類似点・相違点の比較・検討も試みたい．

References

[1] J.J. Duistermaat and G.J. Heckman, Invent. Math. 69 (1982) 259; and ibid. 72 (1983) 153.

[2] M. Blau and G. Thompson, J. Math. Phys. Special Issue on Functional Integration (May 1995), and references therein.

[3] A. M. Perelomov, “Generalized Coherent states and Their Applications” Springer-Verlag Berlin Heidelverg 1986.

[4] J. R. Klauder and Bo-S. Skagerstam, “COHERENT STATES” World Scientific, Singapore, 1985.

[5] K. Funahashi, T. Kashiwa, S. Sakoda, and K. Fujii, J. Math. Phys. 36 (1995) 3232.

[6] K. Funahashi, T. Kashiwa, S. Sakoda, and K. Fujii, J. Math. Phys. 36 (1995) 4590.

[7] K. Funahashi, T. Kashiwa, S. Nima, and S. Sakoda, Nucl. Phys. B453 (1995) 508.

[8] K. Fujii, T. Kashiwa, and S. Sakoda, J. Math. Phys. 37 (1996) 567.

[9] K. Fujii and K. Funahashi : Multi-periodic coherent states and the WKB exactness, to appear in J. Math. Phys. K. Fujii and K. Funahashi : Multi-periodic coherent states and the WKB exactness : Non-compact case and classical theories revisited, preprint(1966).

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