幾何学的量子化と経路積分

名城大学理工学部 岡本清郷

量子力学系の時間的発展はシュレディンガー方程式に従う状態関数の時間的変動によって記述される．このシュレディンガー方程式を解くにはハミルトニアンを無限小変換とするユニタリ作用素の１助変数半群を求めればよい．ハミルトニアンが座標関数を掛ける作用素や座標に関する微分等の場合は簡単に求められる．しかし，これらが非可換であるために，これらの一次結合の場合は「作用素の順序」が問題となり，単に個々の作用素の積では得られない．

今日の話の第一の目的は，これが幾何学的量子化によって得られることを示すことである．

先ず，上記の二つの作用素の満たす交換関係式がハイゼンベルグリー環の表現になっていることに注目し，相空間をハイゼンベルグリー群の余随伴作用の軌道として実現する．そして，キリロフーコスタント理論により幾何学的量子化を実行する．余随伴作用の軌道はすべてシンプレクテック等質空間である．軌道の点は自然に直線バンドルを定め，その曲率がシンプレクテック形式となるような接続形式を与える．その直線バンドルの切断の全体のなすベクトル空間上でリー群の表現が得られるが，これは可約である．既約な表現を得るためにポーラリゼイションが重要な役割を果たす．

今日の話の第二の目的は，幾何学的量子化と経路積分との関係を述べ，シンプレクティック等質空間上の経路積分をファイマンの原点に戻って計算し，確率振幅を数学的に厳密に計算することにより，上記の既約表現が具体的に求められることを示すことである．

余随伴作用の軌道の点は１次微分形式と見なされ，それが定めるコホモロジークラスの中からポーラリゼイションにマッチしたものを選ぶことにより作用積分を計算することが重要である．

上記の結果は半単純リー群の場合に拡張され，特に完全複素ポーラリゼイションを考えればボレル・ヴェイユ理論の新しいアプローチが得られる．

カッツ・ムーディー群等の無限次元リー群の場合は相空間が無限次元になり，余随伴軌道上には不変測度が存在しないため困難になる．アフィンカッツ・ムーディー群の場合ホワイトノイズを用いることにより基本表現に対する経路積分が計算できる．

これらの研究はまだ始まったばかりであり弦理論との関連を調べる等興味ある課題が山積している．