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Thèmes de recherche

Thèse

J'ai soutenu ma thèse « Catégorification d'algèbres amassées antisymétrisables » sous la direction de Bernard Leclerc le 18 novembre 2008.

Résumé : Le but de cette thèse est de catégorifier des algèbres amassées antisymétrisables. Une grande variété de cas antisymétriques a déjà été traitée par exemple par Keller, Caldero-Keller, Geiß-Leclerc-Schröer, Dehy-Keller, Fu-Keller, Palu. Pour ce faire, on utilise des catégories exactes stablement 2-Calabi-Yau. Pour traiter le cas antisymétrisable, nous considérons l'action d'un groupe fini sur une telle catégorie et nous introduisons unecatégorie équivariante associée qui est encore stablement $2$-Calabi-Yau. Nous développons une théorie des mutations pour ses objets rigides invariants. Une grande famille d'exemples est fournie par les catégories de représentations d'algèbres préprojectives : par exemple, si l'on prend la catégorie des représentations de l'algèbre préprojective de diagramme $A_{2n-1}$ muni de son automorphisme d'ordre $2$, on obtient l'algèbre amassée des fonctions sur le groupe de Lie unipotent de type $C_n$. On peut de la même façon obtenir toutes les algèbres amassées de fonctions sur les sous-groupes unipotents maximaux des groupes de Lie semi-simple. Par ailleurs, on peut construire ainsi toutes les algèbres amassées de type fini. Toutes ces catégorifications nous permettent de démontrer, pour les algèbres amassées correspondantes, une conjecture de Fomin et Zelevinsky qui affirme l'indépendance linéaire des monômes d'amas.

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Prépublications et publications

Algèbres amassées et algèbres préprojectives : le cas non simplement lacé, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 346 (2008), no. 7-8, 379—384. On généralise au cas non simplement lacé des résultats de Geiß, Leclerc et Schröer sur les structures amassées des algèbres de fonctions sur les sous-groupes unipotents maximaux des groupes de Lie simples. Cela permet en particulier de voir les structures amassées dans le cas non simplement lacé comme projections des structures amassées dans le cas simplement lacé. Cela permet aussi de montrer la liberté des monômes d'amas dans le cas non simplement lacé. (arXiv ; journal)

Skew group algebras of path algebras and preprojective algebras, J. Algebra 323, Issue 4 (2010), 1052—1059. On calcule de façon explicite l'algèbre de groupe tordue (skew group algebra) d'un groupe fini agissant sur l'algèbre des chemins d'un carquois ou sur une algèbre préprojective. Ces résultats généralisent ceux de Reiten et Riedtmann pour un groupe cyclique agissant sur une algèbre de chemins et ceux de Reiten et Van den Bergh pour un sous-groupe fini de $\operatorname{SL}(\mathbb{C} X + \mathbb{C} Y)$ agissant sur $\mathbb{C}(X,Y)$. (arXiv ; journal)

Categorification of skew-symmetrizable cluster algebras, Algebr. Represent. Theory 14 (2011), no. 6, 1087—1162. Nous proposons un nouveau cadre pour catégorifier les algèbres amassées antisymétrisables. À partir d'une catégorie exacte stablement $2$-Calabi-Yau $\mathcal{C}$ munie d'une action d'un groupe fini $G$, on construit une mutation $G$-equivariante sur la classe des objects rigides $G$-invariants maximaux de \mathcal{C}. Grâce à un caractère d'amas approprié, on peut associer à cette situation une algèbre amassée antisymétrisable explicite. Dans ce cadre, on prouve l'indépendance linéaire des monômes d'amas. Finallement, cette construction est illustrée avec des exemples associés aux variétés de drapeaux partiels et aux sous-groupes unipotents de groupes de Kac-Moody, ce qui généralise au cas non simplement lacé plusieurs résultats de Geiß-Leclerc-Schröer. (arXiv ; journal)

Mutations of group species with potentials and their representations. Applications to cluster algebras. Cet article a pour but de généraliser les travaux de Derksen, Weyman et Zelevinsky à propos des algèbres amassées antisymétriques au cas antisymétrisable. Grâce aux notions d'espèces en groupes à potentiels et de leurs représentations décorées, on peut, dans les bons cas, définir des mutations de ces objets de telle façon qu'elles suivent la même combinatoire que les mutations de Fomin et Zelevinsky pour une matrice antisymétrique définie à partir de l'espèce en groupes. Ces cas favorables sont dits non dégénérés. Ainsi, lorsqu'une matrice d'échange peut être associée à une espèce en groupes à potentiel non dégénérée, on obtient une interprétation des $F$-polynômes et des $\mathbf{g}$-vecteurs de Fomin et Zelevinsky à partir des mutations d'espèces en groupes à potentiels munies de représentations décorées. Finalement, on en déduit la preuve d'une série de conjectures combinatoire de Fomin et Zelevinsky dans ce cas. De plus, on donne, pour certaines matrices antisymétrisables, la construction d'une espèce en groupes à potentiel non dégénérée réalisant cette matrice. À l'inverse, on montre que certaines matrices antisymétrisables ne sont pas réalisables ainsi. (arXiv)

Example of a categorification of a cluster algebra, Proceedings of the 44th Symposium on Ring Theory and Representation Theory, 30—42, Symp. Ring Theory Represent. Theory Organ. Comm., Nagoya, 2012. Nous présentons deux exemples détaillés de catégorifications additives de structures amassées d'une algèbre de coordonnées d'un sous-groupe unipotent maximal d'une algèbre de Lie simple. Le premier est de type simplement lacé ($A_3$) et repose sur les travaux de Geiß, Leclerc et Schrôoer. Le second est non simplement lacé ($C_2$) et repose sur un article de l'auteur de cette note. Cette note est écrite pour être accessible en particulier aux non spécialistes du sujet. (article)

Quotients of exact categories by cluster tilting subcategories as module categories (avec Y. Liu), J. Pure Appl. Algebra 217 (2013), no. 12, 2282—2297. Nous démontrons que certains sous-quotients de catégories exactes sont abéliennes. Ce résultat généralise celui de Koenig-Zhu dans le cas des catégories triangulées (algebriques). En particulier, si une catégorie exacte $\mathcal{B}$ avec assez de projectifs et d'injectifs a une sous-catégorie amas-basculante $\mathcal{M}$, alors $\mathcal{B}/\mathcal{M}$ est abélienne. Plus précisément, elle est équivalente à la catégorie des modules de présentation finie sur $\underline{\mathcal{M}}$. (arXiv ; journal)

Ice quivers with potentials associated with triangulations and Cohen-Macaulay modules over orders (avec X. Luo), Trans. Amer. Math. Soc. 368 (2016), no. 6, 4257—4293. Partant d'une triangulation d'un polygone $P$ à $n$ sommets, nous construisons un carquois à potentiel gelé de façon que l'algèbre jacobienne associée ait une structure de réseau de Gorenstein $\Lambda$ sur $K[x]$. Nous prouvons alors que la catégorie stable des $\Lambda$-modules de Cohen-Macaulay est équivalente à la catégorie amassée $\mathcal{C}$ de type $A_{n-3}$. Cela induit une interprétation naturelle de l'indexation habituelle des objets amas-basculants de $\mathcal{C}$ par les triangulations de $P$. De plus, cela étend naturellement la catégorification triangulée par $\mathcal{C}$ de l'algèbre amassée de type $A_{n-3}$ en une catégorification exacte en ajoutant des coefficients correspondant aux côtés de $P$. Finallement, nous relevons l'équivalence précédente en une équivalence entre la catégorie stable des $\Lambda$-modules de Cohen-Macaulay gradués et la catégorie dérivée bornée des modules sur une algèbre de chemin de type $A_{n-3}$. (arXiv ; journal)

Ice quivers with potential arising from once-punctured polygons and Cohen-Macaulay modules (avec X. Luo), Publ. Res. Inst. Math. Sci. 52 (2016), no. 2, 141—205. Étant donnée une triangulation étiquetée (tagged) d'un polygone $P^*$ à $n$ côtés avec une poncture, nous construisons un carquois à potentiel gelé de sorte que la partie gelée de l'algèbre jacobienne associée ait une structure de réseau de Gorenstein $\Lambda$ sur $K[X]$. Nous montrons ensuite que la catégorie stable des $\Lambda$-modules de Cohen-Macaulay est équivalente à la catégorie amassée $\mathcal{C}$ de type $D_n$. Cela donne une interprétation naturelle de l'indexaction habituelle des objets amas-basculants de $\mathcal{C}$ par les triangulations étiquetées de $P^*$. De plus, cela étend naturellement la catégorification triangulée par $\mathcal{C}$ de l'algèbre amassée de type $D_n$ en une catégorification exacte en ajoutant des coefficients correspondant aux côtés de $P$. Enfin, nous relevons l'équivalence précédente en une équivalence entre la catégorie stable des $\Lambda$-modules de Cohen-Macaulay gradués et la catégorie dérivée bornée des modules sur une algèbre de chemin de type $D_n$. (arXiv ; journal)

Lifting preprojective algebras to orders and categorifying partial flag varieties (avec O. Iyama), Algebra & Number Theory 10 (2016), no. 7, 1527—1580. Dans cet article, nous décrivons une catégorification de l'algèbre amassée des coordonnées multi-homogènes des variétés de drapeaux partiels de type $A$ et $D$ en utilisant des modules de Cohen-Macaulay sur des ordres. Pour ce faire, nous construisons explicitement plusieurs équivalences de catégories, reliant les modules de Cohen-Macaulay sur un ordre $A$ aux modules finiment engendrés sur certaines algèbres de longueur finie obtenues en quotientant $A$ par un idempotent. (arXiv ; journal)

$τ$-rigid finite algebras and $g$-vectors (avec O. Iyama et G. Jasso), Int. Math. Res. Not. (2017), 1—41. La classe des modules support $\tau$-basculants a été introduite récemment par Adachi-Iyama-Reiten pour compléter la classe des modules basculants du point de vue des mutations. Dans cet article, nous étudions les algèbres $\tau$-rigide finies, c'est-à-dire les algèbres ayant un nombre fini de classes d'isomorphismes de modules $\tau$-rigides. Nous montrons qu'une algèbre de dimension finie $A$ est $\tau$-rigide finie si et seulement si toute classe de torsion dans $\operatorname{mod} A$ est fonctoriellement finie. Nous étudions aussi les propriétés combinatoires des $g$-vecteurs associés aux modules $\tau$-basculants. Étant donnée une algèbre de dimension finie $A$ ayant $n$ modules simples, nous construisons un complexe simplicial $\Delta(A)$ de dimension $n-1$ dont les faces maximales sont en bijection avec les classes d'isomorphisme des $A$-modules basics support $\tau$-basculants. Nous montrons que $\Delta(A)$ peut être réalisé dans le groupe de Grothendieck de $\operatorname{mod} A$ en utilisant les $g$-vecteurs. Nous montrons que si $A$ est une algèbre $\tau$-rigide finie, alors la réalisation géométrique de $\Delta(A)$ est homéomorphe à une sphère de dimension $n-1$. (arXiv ; journal)

Introduction to algebras of partial triangulations, Proceedings of the 49th Symposium on Ring and Representation Theory (2017). Cette note donne une introduction aux algèbres de triangulations partielles, en suivant la structure d'un exposé donné à Osaka en 2016. Cette classe d'algèbres, qui sont toujours de rang fini, contient les algèbres Jacobiennes de surface, et les algèbres de graphes de Brauer. Nous expliquons des résultats de théorie des représentations et des équivalences dérivées. Tous les résultats sont démontrés dans arXiv:1602.01592, sous des hypothèses plus faibles. (arXiv)

$\operatorname{SL}_2$-tilings do not exist in higher dimensions (mostly) (avec P.-G. Plamondon, D. Rupel, S. Stella, P. Tumarkin). Nous définissons une généralisation des $\operatorname{SL}_2$-pavages aux dimensions supérieures : les $\varepsilon-\operatorname{SL}_2$-pavages. Nous prouvons que, en dimension $3$ ou supérieure, les $\varepsilon-\operatorname{SL}_2$-pavages n'existent que pour certains choix de $\varepsilon$. Lorsqu'ils existent, ils sont essentiellement uniques et ont une description concrête en termes de la suite de Fibonacci. (arXiv)

Algebras of partial triangulations. Nous introduisons deux nouvelles classes d'algèbres à partir de triangulations partielles de surfaces marquées. La première, appelée gelée, est généralement de rang infini et contient les algèbres jacobiennes gelées des triangulations de surfaces marquées. La seconde, est toujours de rang fini (explicite) et contient les algèbres jacobiennes classiques des triangulations de surfaces marquées ainsi que les algèbres de graphes de Brauer. Nous classifions les triangulaitons partielles pour lequelles l'algèbre gelée est un réseau sur un anneau de séries formelles. Pour les algèbres de la seconde classe, nous prouvons qu'elles sont symétriques lorsque la surface est sans bord. D'un point de leur théorie des représentations, nous prouvons qu'elles sont toujours de type de représentation fini ou apprivoisé. Finalement, nous définissons une opération combinatoire sur les triangulations partielles, généralisant les mouvement de Kauer pour les graphes de Brauer et les flips pour les triangulations, qui induit des équivalences dérivées entre les algèbres correspondantes (dans la seconde classe). (arXiv)

Exposés

Action of finite groups on 2-Calabi-Yau categories and categorification of antisymetrizable cluster algebras, International Conference on Cluster Algebras and Related Topics, Mexico, 18/12/2008. (présentation)

Catégorification d'algèbres amassées antisymétrisables, Séminaire d'algèbre, Saint-Étienne, 13/01/2009. (présentation)

Catégorification d'algèbres amassées antisymétrisables, Séminaire Algèbre et gémétrie, Versailles, 20/01/2009. (présentation)

Catégorification d'algèbres amassées antisymétrisables, Séminaire d'algèbre, I.H.P., Paris, 02/02/2009.

Catégorification d'algèbres amassées antisymétrisables, Séminaire d'algèbre, Besançon, 12/02/2009. (présentation)

Algèbres de groupe tordues des algèbres de chemins et des algèbres préprojectives, Séminaire d'algèbre, Lyon, 19/02/2009.

Catégorification d'algèbres amassées antisymétrisables, Séminaire d'algèbre, Amiens, 08/04/2009.

Algèbres amassées, 7ème Congrès Pan Africain des Mathématiciens, Yamoussoukro, 08/2009.

Categorification of skew-symmetrizable cluster algebras, Oberseminar Darstellungstheorie, Bonn, 11/11/2009.

Group actions on generalized cluster categories, Advanced School and Conference on Homological and Geometrical Methods in Representation Theory, ICTP, Trieste, 01/02/2010.

Positivité totale, algèbres amassées et catégorification, Séminaire d'algèbre, Université de Versailles, 09/02/2010.

Positivité totale, algèbres amassées et catégorification, Séminaire d'algèbre, Université de Strasbourg, 15/03/2010.

Total positivity, cluster algebras and categorification et Categorification of skew-symmetrizable cluster algebras and application to Kac-Moody groups, Algebra-Topology Seminar, ETH Zürich, 2010.

Total positivity, cluster algebras and categorification, Oberseminar, MPIM, Bonn, 2010.

Group species with potential and their applications to cluster algebras, Algebra seminar, Université de Bonn, 2010.

Mutations of group species with potentials and their representations. Applications to cluster algebras, XIV International Conference on Representations of Algebras, Tokyo, 2010.

Categorification of some skew-symmetric and skew-symmetrizable cluster algebras by categories of representations of preprojective algebras - 2 exposés, Representation theory seminar, Université de Nagoya, 2010.

Catégorification des algèbres amassées antisymétrisables, Séminaire de topologie algébrique, Université de Villetaneuse - Paris 13, 2011.

Catégorification des algèbres amassées antisymétrisables, Colloque tournant, Université de Poitiers, 2011.

Categorification of cluster algebra structures of coordinate rings of simple Lie groups, Symposium on Ring and Representation Theory, Okayama, 2011.

Categorification of cluster algebras arising from unipotent subgroups of non-simply laced Lie groups, Lie groups and representation theory seminar, Université de Tokyo, 2011.

Categorification of skew-symetrizable cluster algebras - 2 exposés, 10th Shizuoka Seminar on Algebra, Shizuoka, 2011.

Quiver of skew-group algebras. Application to hereditary and preprojective algebras, Conference on resolution of singularities and the McKay correspondence, Nagoya, 2012.

Mutation of quiver with potential at several vertices, XV International Conference on Representations of Algebras, Bielefeld, 2012.

Mutation of quiver with potential at several vertices, Symposium on Ring Theory and Representation Theory, Matsumoto, 2012.

Cohen-Macaulay modules over orders associated with triangulations and cluster categories (type A and D), Perspectives of Representation Theory of Algebras, Nagoya, 2013.

From categories of Cohen-Macaulay over orders to subcategories of modules categories, XVI International Conference on Representations of Algebras, Sanya, 2014.

From categories of Cohen-Macaulay modules over orders to subcategories of module categories, application to cluster algebras of homogeneous coordinate rings of partial flag varieties, Cluster Algebras and Representation Theory, Séoul, 2014.

Cohen-Macaulay modules over orders associated with triangulations and cluster categories (type A and D), Cluster Algebras in Combinatorics and Topology, Séoul, 2014.

Orders categorifying cluster algebras structures of partial flag varieties, Workshop on Homological Interactions between Representation Theory and Singularity Theory, Edinburgh, 2014.

Categorification of cluster algebras structures coming from Lie theory, Série de trois cours, Winter School on Representation Theory, Tokyo (janvier 2016).

Algèbres de triangulations partielles, Séminaire d'algèbre et de géométrie, Université de Caen (mars 2016).

Algebras of partial triangulations, Séminaire, Universität Bielefeld (mars 2016).

Orders categorifying cluster algebras structures of partial flag varieties, Workshop on Cluster Algebras and Geometry, Universität Münster (mars 2016).

Algebras of partial triangulations, Workshop on Brauer Graph Algebras, Universität Stuttgart (mars 2016).

Algèbres de triangulations partielles, Séminaire d'algèbre, Université de Bourgogne (mars 2016).

Algèbres de triangulations partielles, Séminaire Groupes, Représentations et Géométrie, Université Paris 7 (mars 2016).

Algebras of partial triangulations, Seminario di Algebra e Geometria, Sapienza Universita di Roma (mars 2016).

Orders categorifying cluster algebras structures of partial flag varieties, Algebra seminar, Bonn Universität (mai 2016).

Algebras of partial triangulations, XVII International Conference on Representations of Algebras, Syracuse (août 2016).

Algebras of partial triangulations, Symposium on Ring Theory and Representation Theory, Osaka (septembre 2016).

Algèbres de triangulations partielles, Séminaire Groupes, Représentations et Géométrie, Université Paris 7 (mars 2016).

Treillis des classes de torsions, Séminaire d’algèbre, IHP, Paris (mai 2017).

Lattices of torsion classes, International Workshop on Cluster Algebras and Related Topics, Chern Institut of Mathematics, Tianjin (juillet 2017).

Lattices of torsion classes, Symposium on Ring Theory and Representation Theory, Yamanashi (octobre 2017).

Divers

Rapporteur pour Algebra and Number Theory, Archiv der Mathematik, Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana, Communication in Algebra, Compositio Mathematica, Journal of Algebra, Journal of Algebra and its Applications, Journal of Algebraic Combinatorics, Journal of Pure and Applied Algebra, Mathematische Zeitschrift, Monatshefte für Mathematik, Proceedings of London Mathematical Society, Symmetry, Integrability and Geometry : Methods and Applications, Transaction of the American Mathematical Society.

Évaluateur (opinions rapides) pour Advances in Mathematics, Bulletin of London Mathematical Society, Journal of the American Mathematical Society.

Membre du jury et du conseil d'administration de la Féfération Française des Jeux Mathématiques.

Membre du conseil d'administration du Comité International des Jeux Mathématiques.