非可換幾何若手勉強会 2015

概要

■日程
2015年 3月9日(月) -11日(水)

■場所
名古屋大学 多元数理科学棟 552セミナー室

■勉強会の概要・主旨
国内の非可換幾何学に関心のある院生・ポスドクを中心とした若手研究者による勉強会を行います。
非可換幾何学の重要な動機の一つであるAtiyah-Singer指数定理の発展と応用をテーマとして、招待講演者による講演と参加者による発表を通じた理解の深化と情報の交換を行うことが目的です。 また非可換幾何学に関係する国内の若手研究者の交流も目的としています。

■勉強会の内容
招待講演者の先生方による講演の他、院生・ポスドクによるサーベイ発表、及び参加者間における自由討論

■招待講演者
森吉仁志 先生 (名古屋大)、夏目利一 先生 (名工大)、高倉樹 先生 (中央大)、Thomas Schick 先生 (University of Göttingen)

■発表希望者の募集について　募集は終了しました
本勉強会において発表してくださる院生・ポスドクの方を募集しています。発表時間は一人60分×1回で、発表内容は指数定理に関係した自身の興味があるテーマについてのサーベイでお願いします。もちろん自身の結果について触れてもらって構いません。
発表を希望される方は氏名、所属、及び発表希望内容(簡単にで構いません)を 1月31日までに世話人までご連絡ください。なお発表希望者多数の場合にはご希望に添えない場合もございます。予めご了承ください。

■懇親会について
3月9日(月)の夕刻に懇親会を行う予定です。懇親会への参加を希望される方は2月28日までに世話人までご連絡ください。

■備考
教室の大きさに限りがあるため、参加をご希望される方は予めご連絡をいただければ助かります。
なお、この勉強会は名古屋大学多元数理科学研究科学生プロジェクト「指数定理と作用素環を中心とした非可換幾何学の発展」の活動の一環として行われます。 発表者には旅費の補助ができる場合があります。詳しくは世話人までお問い合わせください。

■勉強会世話人
松岡勇気 (名古屋大学多元数理科学研究科)
m12046c◎math.nagoya-u.ac.jp (お手数ですが◎を@に変えてメールしてください)

更新情報・お知らせ

講演者・アブストラクト・集合写真

集合写真

アブストラクト集pdf

■森吉仁志 (名大)
"K理論を用いた指数の一般化とその具体例"

Atiyah-Singer 指数定理において，指数は Fredholm 指数，即ち作用素の核と余核の次元の差として定義される．C*環のK理論を用いると，あるK群の要素（これを指数類とよぶ）として指数の定義を拡張することができる．群作用に関して同変な作用素，族作用素，葉層多様体上の作用素，非コンパクト多様体上の作用素などを例にとり，指数類を具体的に説明する．時間に余裕があれば，最近格子ゲージ理論で用いられる Ginsparg-Wilson 型の Dirac 作用素や，Fuzzy shpere 上の指数定理との関連も述べる．

■夏目利一 (名工大)
"指数定理と作用素環１"

指数定理の理論において重要な役割を果たす作用素環の概説を講義する。基本的な性質を示し、非可換トーラス、非可換球面といった基本的な「非可換多様体」の例を紹介する。

"指数定理と作用素環２"

C*-環の役割はそのK群が葉に沿って楕円型である擬微分作用素の指数の受け皿であることにある。講義２では具体的な例を取り扱う。２次元トーラス上のクロネッカー葉層のC*-環のK群の一つの生成元は有名なRieffel射影子である。講義２ではその指数がRieffel射影子で表される擬微分作用素を考察する。

■高倉樹 (中央大)
"同変指数とシンプレクティック商のトポロジー"

群作用をもつシンプレクティック多様体の同変指数とシンプレクティック商の指数の関係を与える定理（かつて量子化予想と呼ばれた定理）と、関連するトピックスについて話す。 まず、シンプレクティック商、ケーラー商およびGIT商の基礎的事項を説明し、定理の定式化を与える。その後、いくつかの証明について述べる。 また、具体例に関連して、Weylの指標公式・次元公式とその応用について述べる予定である。

■Thomas Schick (University of Göttingen)
"Higher index theory and obstructions to positive scalar curvature"

Fundamental question in differential geometry: does a given manifold admit a Riemannian metric of positive scalar curvture?
Schroedinger and Lichnerowicz found a fundamental relation of this question to the spectral theory of the Dirac operator on curved manifolds: if one has positive scalar curvature, then zero is not in the spectrum. By the famous Atiyah-Singer index theorem, this implies that the index of the Dirac operator must be zero.
But this is only the tip of the iceberg: one can use methods from the K-theory of C*-algebras, and methods from large-scale geometry and large-scale index theory to obtain much more powerful results; in particular on spin manifolds with large fundamental groups.
We will discuss some examples of these - focusing on the general philosophy behind the index method. The examples will should in particular include constructions where certain submanifolds give obstructions to positive scalar curvature (a phenomenon whose full meaning still remains somewhat mysterious).

■南範彦 (名工大)
"トポロジカル絶縁体周辺の入門的概観"

トポロジカル絶縁体の基礎について，スピン流を切り口にその工学的興味と物理的背景についての概観を与え，林さんの講演の背景を与えます．また，数学的な観点からは，トポロジカル絶縁体の理論的前身と思える量子ホール効果のTKNN公式について述べ，更にそのコンヌ流非可換幾何による一般化において，結晶固体力学のブリルアントーラスの非可換版として非可換トーラスが現れる事にも言及します．これにより，夏目さんの講演を聴くより一層の動機を与えます．

■瀬戸樹 (名大)
"分割された多様体におけるRoe-Higson型指数定理"

一般に, 非コンパクト多様体上のDirac型作用素はFredholm作用素ではないので, Atiyah-Singer指数定理を直接一般化することはできない. Roeは完備多様体上で新たに``index class''を定義し, 分割された多様体上で指数定理を証明した. Roeの定理は, ある巡回$1$コサイクルとindex classとの ペアリングが分割を与える閉超曲面上の Dirac型作用素のFredholm指数で与えられることを主張している. HigsonはRoeの定理の簡潔な別証明を与え, それを指数のコボルディズム不変性の別証明に応用した. 本公演ではRoe-Higsonの定理とそのToeplitz作用素を用いた類似について紹介する.

"The Roe-Higson type partitioned manifold index theorem"

In general, Dirac type operator is not Fredholm on a non-compact manifold. So we cannot extend the Atiyah-Singer index theorem to a non-compact manifold, directly. Roe constructed the ``new index class'' on a complete manifold and he proved an index theorem for a partitioned complete manifold. Roe's theorem states Connes' pairing of a certain cyclic one-cocycle with the index class is calculated by the Fredholm index of a Dirac type operator on the partitioning hypersurface. Higson gave an alternative and clear proof of Roe's theorem and apply to the cobordism invariance of the index. In this talk, I will talk about Roe-Higson's theorem and a Toeplitz operator analogue of Roe-Higson's theorem.

■林晋 (東大)
"トポロジカル絶縁体におけるバルクエッジ対応とそのK理論的側面"

物性物理において、バルク（内側）は絶縁体であるが、バルクのある種のトポロジーを反映してエッジ（境界）にそってある種のカレントが流れる現象のあることが知られており、このような物質はトポロジカル絶縁体と呼ばれている。 このバルクとエッジの対応関係（バルクエッジ対応）は、バルクとエッジのそれぞれの情報から定まるある種の指数の対応関係として定式化できる。本講演ではバルクエッジ対応をK理論の観点から紹介する。 古田幹雄、小谷元子、窪田陽介、松尾信一郎、佐藤浩司の諸氏との共同研究。

■福本佳泰 (京大)
"Gromov - Lawson の相対指数定理"

開多様体上の指数定理のひとつである, Gromov - Lawsonのrelative index theoremの解説をする. 大雑把に述べると, 2つの開多様体 X0とX1 があって無限遠では“一致”しているときに, それらの指数の差ind(D0) − ind(D1)は, X0とX1 から作られる或るコンパクト多様体の指数で書けるというものである.証明では, Dirac作用素のパラメトリックスを変形するということがされる. またこの定理は,「Enlargeableな多様体は, metric of positive scalar curvatureを持たない。」の証明に応用される. 参考文献はこの論文である: M.Gromov - H.B.Lawson, Positive scalar curvature and the Dirac operator on complete Riemannian manifolds, Publ. Math. I.H.E.S., 58(1983)83-196.

"Gromov - Lawson’s Relative index theorem"

To briefly explain Gromov - Lawson’s Relative index theorem, let X0 and X1 be two (open) Riemannian manifolds and assume that they agree at the infinity. Then the difference of their indices ind(D0) − ind(D1) can be described as the index of a compact manifold obtained by cutting and patching X0 and X1 together. In the proof we will employ a transformation of a parametrices of the Dirac operators. As an application of this theorem we have the following; Enlargeable manifolds do not admit any metrics of positive scalar curvature.
References: M.Gromov - H.B.Lawson, Positive scalar curvature and the Dirac operator on complete Riemannian manifolds, Publ. Math. I.H.E.S., 58(1983)83-196.

■窪田陽介 (東大)
"An introduction to the Baum-Connes conjecture"

Baum-Connes予想について入門的な解説をします．モチベーションと定式化のための道具立てからはじめて，トポロジーへのいくつかの応用と解決のためのいくつかのアプローチまで簡単に紹介します
　

プログラム

プログラムpdf

■3月9日(月)
13:30 - 14:30　南 範彦 (名古屋工業大学)　"トポロジカル絶縁体周辺の入門的概観"
14:45 - 15:45　高倉 樹 (中央大学) I　"同変指数とシンプレクティック商のトポロジー I"　
16:00 - 17:00　夏目 利一 (名古屋工業大学) I　"指数定理と作用素環１"

■3月10日(火)
09:45 - 10:45　森吉 仁志 (名古屋大学) I　"K理論を用いた指数の一般化とその具体例 I"
11:00 - 12:00　高倉 樹 (中央大学) II　"同変指数とシンプレクティック商のトポロジー II"　
13:30 - 14:30　林 晋 (東京大学)　"トポロジカル絶縁体におけるバルクエッジ対応とその K 理論的側面"
14:45 - 15:45　窪田 陽介 (東京大学)　"An introduction to the Baum-Connes conjecture"
16:00 - 17:00　福本 佳泰 (京都大学)　"Gromov - Lawson の相対指数定理"

■3月11日(水)
09:45 - 10:45　夏目 利一 (名古屋工業大学) II　"指数定理と作用素環２"
11:00 - 12:00　森吉 仁志 (名古屋大学) II　"K理論を用いた指数の一般化とその具体例 II"
13:30 - 14:30　Thomas Schick (University of Göttingen)　"Higher index theory and obstructions to positive scalar curvature"
14:45 - 15:45　瀬戸 樹 (名古屋大学)　"分割された多様体における Roe-Higson 型指数定理"

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