名古屋大学 大学院多元数理科学研究科・理学部数理学科
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教育・就職 - 教育研究活動 - 複素鏡映群に付随したHecke環とMacdonald関数

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ファイル更新日:2005年06月16日

教育・就職

複素鏡映群に付随したHecke環とMacdonald関数

代表者(提案者)

庄司 俊明

テーマ

一般線形群GLn(C)や斜交群Sp2n(C)などの複素Lie群の, 有限体Fqでの類似物として得られる有限群をLie型の有限群, または有限Chevalley群という. 有限Chevalley群の表現論は, 代数幾何, Lie環の表現論, 組み合わせ論と結び付いて1970年代より急速に発展して来た. 一方, 1980年代にLie環のq類似(パラメータqが入ったもの)として量子群が導入され, 量子群の表現論が関連する分野に革命的な影響を与えた. これらを総称してLie型の表現論という. このプロジェクトのテーマは, Lie型の表現論および, 関連する組み合わせ論の研究である. Lie型の表現論の特徴として, Weyl群と呼ばれる比較的簡単な構造を持った有限群が中心的な役割を演ずる. 例えば, GLn(C)の場合$n$次対称群SnがWeyl群になる. ここでは, Weyl群の拡張として複素鏡映群に注目し, Hecke環や, Macdonald関数など具体的な対象を調べることにより, Lie型の表現論をWeyl群が統制する日常の世界から, 複素鏡映群の支配する異次元の世界へ拡張することを目指す.

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2005年度前期の活動予定

今年度は, 複素鏡映群に付随したHecke環に主力をおいてプロジェクトを進める. 前期は

(1) 少人数クラス「Hecke環の表現論」 (担当者:庄司 俊明)

日 時 毎週火曜日 3限・4限
場 所 理1号館 207セミナー室

をベースに活動を行なう. このプロジェクトの基礎となる, 通常のCoxeter群に付随したHecke環の表現論については, この少人数クラスで学ぶことができる. また, Hecke環の表現論の最も興味深い部分は, それが量子群の表現論と結びつく所である. 複素鏡映群に付随したHecke環についても同様である. この部分については, 岡田氏の少人数クラス「量子群と結晶基底」または, 中西知樹氏の少人数クラス「Kac-Moody代数と量子群」に出席されることを勧める.

本格的な活動は7月から始める. 前期は, 岡田氏のプロジェクト「表現論的組合せ論と組合せ論的表現論」と合同で活動を行なう. 7月からレクチャーシリーズ「RSK対応」を通じて, 組合せ論的アルゴリズムと表現論の関係について, 多面的に調べる.

前期にHecke環の理論の基礎付けを行い, それをもとに後期に複素鏡映群に付随したHecke環に関するレクチャーシリーズを予定している.


2004年度後期の活動予定

今年度後期も, 前期に引き続いて, プロジェクト「表現論的組合せ論と組合せ論的表現論」(責任者:岡田 聡一)と合同で活動を行なう. 前期のLecture Seriesで, 組合せ論の基礎と対称関数について概観し, Schur関数から出発してHall-Littlewood関数の構成まで進んだ. 後期はその延長であるMacdonald関数について多方面から調べる. Macdonald関数は組合せ論のみならず, Hecke環の表現論, 可積分系, 量子群の表現論などと結び付いて, 興味ある研究対象になっている. 後期は以下のLecture Seriesを予定している.

  • Macdonald多項式入門/粟田英資
  • Macdonald多項式の物理的側面/小森 靖
  • Macdonald多項式と量子群のFock space表現/宮地兵衛
  • 複素鏡映群に付随したHall-Littlewood関数とMacdonald関数/庄司俊明
  • Macdonald関数とdouble affine Hecke algebra/未定

第1回は,

日 時 10月26日(火) 16:30〜18:00
場 所 理学部A館 444セミナー室

で, 以後, 大体隔週に行なう予定. 場所, 時間はおおむね, 上と同じ. 詳しい予定は, その都度web page「複素鏡映群に付随したHecke環とMacdonald関数」に載せるので, そちらを確認すること.


2004年度前期の活動予定

今年度前期は, プロジェクト

表現論的組合せ論と組合せ論的表現論」 (責任者:岡田 聡一)

と合同で活動を行う. 岡田さんの少人数クラスセミナー(テーマは組合せ論と対称関数)をベースにする. このセミナーは毎週火曜13:00から理学部A館444セミナー室で行われている. 上記プロジェクトに興味のある学生は, このセミナーをのぞいてみること. 組合わせ論と対称関数は, 2つのプロジェクトの共通言語であり, このセミナーの内容が, プロジェクトへの出発点となるだろう.

プロジェクト本体については, 上記セミナーである程度の予備知識を得た後, 6, 7月にLecture Seriesを予定している. このlectureでは組合わせ論と, 数学の各分野, 特に表現論や, 数理物理 との関連を明確にし, 研究の最前線の話題につなげていくことを目指す. 大体, 隔週のlectureを予定している.

6月上旬
「Hall-Littlewood関数とGreen関数をめぐる組合わせ論, 有限一般線形群の表現との関係」/岡田 聡一
6月下旬
「Green関数の幾何的側面, 対称群のSpringer表現と旗多様体の幾何」/庄司 俊明
7月以降

まだ詳細は未定だが,

  • 「有限Chevalley群のGreen関数」/庄司 俊明
  • 「Green関数から Macdonald関数へ」/岡田 聡一
  • 「Macdonald関数の物理的側面」/小森 靖
  • 「Macdonald関数と量子群のFock space表現」/宮地 兵衛

等を予定している. Lectue Seriesは火曜の5時すぎ, あるいは, 木曜になるだろう. 詳しい予定は, 現在整備中のプロジェクトのweb pageに載せる.

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