測定自由度をもつ統計モデルと量子力学

林正人^{1} 京都大学理学研究科数学教室松本啓史^{2} 東京大学工学部計数工学科

1 はじめに

一般に未知状態を推測するには状態から何らかの情報を取り出さなければならない. そのような情報を取り出す行為は一般に測定とよばれる. 通常の統計的推定の議論においては，測定方法は事前に与えられており，データーからどのように推定量を作るかが考察される．それに対し，本稿では, \underline{測定自由度をもつ統計モデル}，すなわち測定も統計家の設定に委ねられている状況を考察する．

広く知られているように，いわゆる実験計画法では実験計画，すなわち測定の最適化を行なっている．また，量子状態族の推定問題ではその最初から測定自由度をもつ統計モデルの枠組で理論が構成されてきた．量子状態の統計的推測に関する研究は 1960 年代の後半に光通信の受信過程の最適化に関連して C. W. Helstrom [1] により始められた. そして H. P. Yuen and M. Lax [2] らは背景熱ノイズ中のコヒーレント光の複素振幅の， A. S. Holevo [3, 4] はそれを一般化した量子ガウス状態の期待値パラメーターの，一様最小分散不偏推定量をそれぞれ求めた. また， Holevo の著したテキスト [3] ではいくつかのモデルにおいて，ベイズ推定の枠組から議論がされている．

これらの先行研究では（少なくとも量子状態の推定では）測定は実験を始める前に固定して，それ以降は動かさないことが通常行なわれてる．それに対して本稿では長岡 [5, 6] にならい，データーをもとに測定を逐次改良することを許し，その枠組での一次漸近理論を前半で考察する (§2.1 〜 §3)．

長岡 [6] と異り，本稿の前半部では量子系, 非量子系を問わない一般的な枠組で議論しており，そしてパラメーターが複数ある場合を扱っている．長岡 [6] の量子系での記述を一般的な枠組で書き直すことは自明な作業だが，それにより複合測定の理論構成における重要性が明らかになる．また，本文でのべるように，パラメーターが複数のときの理論は単数のときのそれとは本質的に異なる部分がある．この違いについては量子推定論の始研究者の間では早くから強く意識されてきたが，統計学の専門家にはあまりよく知られていないように思われるので，あえて強調した．

さらに，本稿は後半で量子系特有の問題である，量子相関に推定理論の観点から焦点を当てる．量子系の場合，逐次的な測定ふくむ測定のクラスとしてサンプル間の量子相関を用いる測定を考えることができる． (§4〜 §6). このサンプル間の量子相関を用いた推定は, 非量子系で測定自由度をもつ統計モデルでは全く不可能なことで, この種の推定量と逐次的な推定量の違いを研究することが量子系と非量子系の相違を調べることになるので，今後の量子推定理論の重要な課題である. しかしながら，長岡 [6] のように単数のパラメーターしか持たないモデルしか扱わない場合，両者において推定量の誤差の下限は同じになってしまう．そこで，本稿では複数のパラメーターを持つ場合を論じ，その場合には両者の差が表れることを具体例をあげて明らかにする．

1e-mail address: masahito@kusm.kyoto-u.ac.jp

2e-mail address: keiji@expm.t.u-tokyo.ac.jp

以下本稿の構成について述べる．まず最初に， §2 では測定自由度のある統計モデルを定式化し，測定自由度をもつモデルが複数のパラメーターを持つ場合に推定量のリスク関数をどのように定義したらよいかを考察する．次に §3 では，逐次的な測定による一致推定量の推定誤差の達成可能な下限を一次漸近理論の立場で扱う．

そして §4 で測定自由度をもつモデルの例として量子系を定式化し， §5 では量子力学系特有の，サンプル間の量子相関を利用した推定量について一般的な議論を行なう．最後に §6 では量子相関を用いることによって推定精度が上がるモデルとして量子 Spin 1/2 系を取り上げる.

2 測定自由度をもつ統計モデルの定式化と例

2.1 測定自由度をもつ統計モデル

この節では測定自由度をもつ推定問題を定式化する. 推定問題では被測定系の\underline{状態 ρ} と \underline{測定装置 M} に依存して\underline{確率分布 P_{ρ}^{M}} が決まる. 測定者が未知状態を推定するために自由に選べる測定 M の集合を\underline{測定集合}とよび M := \{M\} と表すことにする. なお，測定集合 M は，後に §2.3 で定義する\underline{複合測定}を含むように拡大しておく．

今後，測定 M ∈ M の測定値のなす集合を Ω_{M} と書き対応する σ-field を F(Ω_{M}) と書くことにする. さらに, 本稿では未知状態がある状態族 S := {ρ_{θ}|θ ∈ Θ ⊂ R^{d}} に含まれていることが既知であるとき, 未知パラメーター θ を測定を通じて統計的に推定する問題を考える. 本論文では, 長岡とは異なり一般には未知パラメーターが\underline{複数 (d 個)}存在するモデルを扱う. 今後, 測定集合 M 及び状態族 S の組 (M, S) を\underline{測定自由度をもつ統計モデル}とよぶことにする. なお, 今後簡単のため P_{ρ_{θ}}^{M} を P_{θ}^{M} と省略することにする. また確率分布族 {P_{θ}^{M}|θ ∈ Θ} の θ ∈ Θ での Fisher 情報行列を J_{θ}^{M} と書く．

一般に確率分布族のことを統計モデルとよぶが, 確率分布族は測定集合 M が１つの元から構成されている場合の測定自由度をもつ統計モデルになっている. したがって, 先に定義した測定自由度をもつ統計モデルは従来の意味での統計モデルの一般化になっている.

測定自由度をもつ統計モデルにおいて\underline{推定量}は測定 M と測定結果の集合 Ω から R^{d} への可測写像 θ̂ の組\underline{(M, θ̂)} で表される. ここで真の状態がρ_{θ} であるときの推定値の確率分布を P_{θ}^{(M,θ̂)} とすると，それは

P_{θ}^{(M,θ̂)}(B) = P_{θ}^{M}(θ̂^{−1}(B))

で与えられ，その期待値及び平均二乗誤差行列をそれぞれ E_{θ}^{i}(M, θ̂)， V_{θ}(M, θ̂) と書く．

2.2 量子力学的でない例

ある二次元空間中にある粒子の座標をおなじ二次元空間内にあるカメラの映像を通して推定する問題を考える. 測定の際には分散 σ^{2} のガウス型の誤差が入る仮定する. ここで, 粒子の座標をθ = (θ^{1}, θ^{2}) と書くと，状態族は

S := {ρ_{θ} |θ ∈ R^{2} }

と書ける. ある方向 x ∈ S^{1} （ S^{2} は１次元球面）から粒子を撮影する，という測定を M_{x}と書くと， M_{x}の測定値の集合は x の直交補空間 V_{x}である． R^{2} から V_{x} への射影を P_{x} とし V_{x} の元を ωとすると，各状態 ρ_{θ} に対して測定 M_{x} を行ったときに得られる確率分布の密度関数 p_{θ}^{M_{x}}(ω) は以下で与えられる.

p_{θ}^{M_{x}}(ω) = \frac{1}{2πσ^{2}} exp (2σ^{2} ∥ω − P_{x}(θ)∥^{2}) .

一般に k 個の l 次元空間の粒子の座標を m 次元平面上の射影から推定する問題が考えられ，このときの測定自由度もつパラメーターの個数が kl 個の統計モデルを A_{l,m}^{k} と書く．

2.3 複合測定

§2.2 で挙げた例 A_{2,1}^{1}で，測定としてある特定のアングルからの撮影を考えた．しかし，測定のスキームとしては撮影のアングルを乱数で決定することも考えられる．一般には，測定集合のある部分集合 M′の元を M′の確率測度μで重ね合わせたものを考えることができる．そのような測定のことを\underline{複合測定}という． A_{2,1}^{1}の測定集合 M は， \{M_{x}\}_{x∈S^{1}} およびそれらをある確率測度でかさねあわせた複合測定全体からなる．先に先行して述べたように，一般に我々の枠組では，測定集合といえば複合測定も含むように拡大しておくことにする．

複合測定の測定値の集合については注意が必要である．たとえば，二つのアングル x_{1}, x_{2}を確率的に選んで測定する場合，その測定値のなす集合は V_{x}ではなく， V_{x} × {x_{1}, x_{2}} である．なぜなら撮影のアングルがちがう像は別のものとして区別されなければ，適切な推定を行なうことはできないからである．つまり， M′の元を確率測度μで重ね合わせた複合測定の測定値の集合はΩ := ∐_{M∈M′} Ω_{M} である．

測定 M_{1}, M_{2}を確率λ, 1 − λ で混合した複合測定を M_{λ}とかくと， Fisher 情報行列について凸結合則

J_{θ}^{M_{λ}} = λJ_{θ}^{M_{1}} + (1 − λ)J_{θ}^{M_{2}},  (1)

が成り立つ．

2.4 リスク関数と Cramér-Rao 型の下限

通常，推定量のリスク関数として平均二乗誤差行列をもちいることがよく行なわれる．しかし，行列の空間に入る通常の大小関係は全順序構造になっていない．したがって，各点においてすらも平均二乗誤差行列の最小値が存在しないことが十分にあり得る．

なお，今のべている最小値の不存在は，最適な推定量がパラメーターの真の値によって異なるために許容的な推定量が複数あるというという議論とも，下限の設定が最適でないために達成可能でない，といった議論^{3}とも関係がない．各点において，達成可能な下限が存在しないのである．

このことを例 A_{2,1}^{1}を用いて説明する． y 軸の方向から非常に多く像をとる測定から得られる推定量は他の推定量にくらべて x 成分の推定量の平均二乗誤差は小さいが，かといって y 成分の推定量の平均二乗誤差は逆に大きくなってしまう． y 成分の推定量を改良するために他のアングルからの撮影を増やすと， x 成分の推定量は悪化してしまう．よって， x 成分の推定量と y 成分の推定量の平均二乗誤差を一様に小さくすることはできず，平均二乗誤差行列の最小値は存在しないことがわかる．

そこで，リスク関数として平均二乗誤差行列 V そのものではなく，その成分の重みつき和 Tr GV を用いる．ここで G は実正定値対称行列で，\underline{重み行列}とよばれる． x 成分の推定の精度を高く要求する場合は， G の (1, 1) 成分を大きくとって， Tr GV を最小にする推定量をえらべばよい．

ここで重み行列 G > 0 (d×d の実対称行列)に対して以下のように\underline{Cramér-Rao 型の下限 C_{θ}(G)} を導入する:

C_{θ}(G) := inf {Tr G (J_{θ}^{M})^{−1}| M ∈ M} .  (2)

さらに， Fisher 情報行列に関して次の集合 J_{θ} を定義する.

J_{θ} := ⋂_{M∈M} {J 実対称行列|J_{θ}^{M} ≤ J } .  (3)

一般には J_{θ} の最小元は存在しないが最小元が存在するときは J_{θ} と書くことにする. すると J_{θ} の定義から直ちに次の不等式が成立する.

C_{θ}(G) ≥ C_{θ}^{S}(G) := sup_{J∈J_{θ}} Tr GJ^{−1}  (4)

なお, 一般には (4) では等号は成立しない. また，現在までのところ， Cramér-Rao 型の下限 C_{θ}(G) はあまり求まっていない.

3 再帰的推定量と漸近的限界

3.1 再帰的推定量の漸近的不等式

この節では k 個目のサンプルを測定するときにk−1 個までのサンプルを測定して得られた k−1 個のデータ (ω_{1}, …, ω_{k−1}) から k 個目のサンプルに対する測定 M_{k}(ω_{1}, …, ω_{k−1}) を決定できるような推定方法を扱うことにする. このような手法で構成される推定量を本稿では\underline{再帰的推定量} とよぶ. 数学的には再帰的推定量は再帰的に構成される測定の系列 {M_{k}(ω_{1}, …, ω_{k−1})}_{k=1}^{n} と n 個のデータ (ω_{1}, …, ω_{n}) から推定値を与える関数を θ̂_{n} の組\underline{(\{M_{k}\}, θ̂_{n})} で表される. ここで n はサンプル数を表す. なお同一の測定 M を n 回繰り返す測定系列を\underline{M × n} と書くことにする.

3例えば Cram e-Rao の下限が Bhattachryya の下限で改良される，と言った種類の議論のことを指す．

まずここで, 再帰的推定量の系列 {({M_{k}}, θ̂_{n})}_{n=1}^{∞} に対して次のように一致性を定義する. ただし，以下では状態ρ_{θ}に再帰的な測定 {M_{k}}_{k=1}^{n} を施して得られる n 個の測定値の同時確率分布を P_{θ}^{{M_{k}}^{n}}で表す．

定義 1 再帰的推定量の系列 {({M_{k}}, θ̂_{n})}_{n=1}^{∞} が次の式を満たす場合, 次の式を満たす場合,MSE 一致推定量とよぶ.

lim_{n→∞} ∫ ∥θ̂_{n} − θ∥^{2} P_{θ}^{{M_{k}}}( dθ̂_{1}, …, dθ̂_{n}) = 0, ∀θ ∈ Θ

真の状態がρ_{θ}であるときの推定量 ({M_{k}}_{k=1}^{n}, θ̂_{n}) の平均二乗型誤差 V_{θ}({M_{k}}, θ̂_{n}) に関して次の定理を得る.

定理 2 推定量の系列 {(M^{n}, θ̂_{n})}_{n=1}^{∞} が MSE 一致推定量であるとき, 次の漸近的 Cramér-Rao 不等式が成立する.

\underline{lim}_{n→∞} n Tr GV_{θ}(\{M_{k}\}, θ̂_{n}) ≥ C_{θ}(G)  (5)

さらに lim_{n→∞} nV_{θ}({M_{k}}, θ̂_{n}) が存在するときには次の不等式も成立する.

lim_{n→∞} nV_{θ}({M_{k}}, θ̂_{n}) ≥ J^{−1}, ∀J ∈ J_{θ}  (6)

ただし (6) の下限は行列値であるので，一般には達成できない. しかし (5) の下限は定理 3 に見るように適当な正則性条件の下で達成できる.

なお，定理 2 が成り立つためには．測定集合に複合測定が含まれるようにしてあることが本質的に重要である．たとえば例 A_{2,1}^{1}で，複合測定を測定集合から排除してみる．すると，複数回の測定では異なったアングルからの測定を行なうことにより，粒子の座標の異なった成分についてそれなりの情報をえることができるのに対し，一度だけの固定されたアングルからの測定ではある成分についての情報は全く失われてしまう．すなわち，重み行列 G のとり方によっては，式 (5) の右辺が左辺を下回り，定理は成立しない．証明確率分布族 {P_{θ}^{{M_{k}}^{n}}} の Fisher 情報行列を J_{θ}^{{M_{k}}^{n}}と書くと，

J_{θ}^{{M_{k}}^{n}} = ∑_{k=1}^{n} ∫_{Ω^{k−1}} J_{θ}^{M_{k}(ω_{1},... , ω_{k−1})}P_{θ}^{{M_{j}}^{k−1}}( dω_{1}, …, dω_{k−1})

ここで k ≤ n なる k について，測定 M_{k}(ω_{1}, …, ω_{k−1}) を確率\frac{1}{n}P_{θ}^{\{M_{j}\}^{k−1}}( dω_{1}, …, dω_{k−1}) で行なう複合測定を M_{θ}^{n} ∈ M で表すことにすると， (1) から次の式を得る：

J_{θ}^{M_{θ}^{n}} = \frac{1}{n}J_{θ}^{\{M_{k}\}^{n}}.  (7)

Jensen の不等式を用いることにより MSE 一致性から次の漸近的不偏性が導ける：

(A_{n})_{j}^{i} := \frac{∂}{∂θ^{j}} E_{θ}^{i}(\{M_{k}\}^{n}, θ̂_{n}) → δ_{j}^{i} as n → ∞.  (8)

また (3) 及び (7) より，

nV_{θ}({M_{k}}^{n}, θ̂_{n}) ≥ nA_{n} (J_{θ}^{{M_{k}}^{n}})^{−1} ^{t}A_{n} = A_{n} (J_{θ}^{M_{θ}^{n}})^{−1} ^{t}A_{n} ≥ A_{n} (J)^{−1} ^{t}A_{n}, ∀J ∈ J_{θ} (9)

を得，これと (8) より直ちに (6) を得る. さらに, (2) 及び (9) より

Tr GnV_{θ}(M^{n}, θ̂_{n}) ≥ Tr GA_{n} (J_{θ}^{M_{θ}^{n}})^{−1} ^{t}A_{n} ≥ C_{θ}( ^{t}A_{n}GA_{n})  (10)

したがって (8) 及び (10) より (5) を得る. □

3.2 量子力学的でない例での計算

この節では §2.2 で定義した例 A_{2,1}^{1}について C_{θ}(G) の値を可能なものについて具体的に与える．ただし，証明は省く．

このモデルにおいて J_{θ} の最小元 J_{θ} は存在し, それは l = m，すなわち粒子の座標の全ての成分が同時に観測できるときの Fisher 情報行列で表される.

今考えているパラメーター空間は kl 次元であるがこの空間は R^{k} ⊗ R^{l} と考えることができる. このとき G はテンソル空間 R^{k} ⊗ R^{l} 上の行列であるが R^{l} に関して partial trace を取ったものを G′′ と書き, R^{k} 上の行列 G′ を G′ := \sqrt{J_{θ}}^{−1}G′′\sqrt{J_{θ}}^{−1} で定義する．さらに,O を OG′^{t}O が対角行列で対角成分が大きい順に並ぶようになる直交行列とする. このとき C_{θ}(G) は次のように与えられる：

C_{θ}(G) = \{∑_{i=1}^{m−1} (OG′^{t}O)_{i,i} + (∑_{i=m}^{l} \sqrt{OG′^{t}O}_{i,i})^{2} if \sqrt{OG′^{t}O}_{m−1,m−1} ≥ \frac{1}{2} ∑_{i=m−1}^{l} \sqrt{OG′^{t}O}_{i,i} ∑_{i=1}^{m−2} (OG′^{t}O)_{i,i} + \frac{1}{2} (∑_{i=m−1}^{l} \sqrt{OG′^{t}O}_{i,i})^{2} \begin{matrix}if \sqrt{OG′^{t}O}_{m−2,m−2} ≥ \frac{1}{3} ∑_{i=m−2}^{l} \sqrt{OG′^{t}O}_{i,i}, \\ and \sqrt{OG′^{t}O}_{m−1,m−1} < \frac{1}{2} ∑_{i=m−1}^{l} \sqrt{OG′^{t}O}_{i,i} \end{matrix} ⋮ ∑_{i=1}^{j} (OG′^{t}O)_{i,i} + \frac{1}{m−j} (∑_{i=j+1}^{l} \sqrt{OG′^{t}O}_{i,i})^{2} \begin{matrix}if \sqrt{OG′^{t}O}_{m−j,m−j} ≥ \frac{1}{j+1} ∑_{i=m−j}^{l} \sqrt{OG′^{t}O}_{i,i}, \\ and \sqrt{OG′^{t}O}_{m−j+1,m−j+1} < \frac{1}{j} ∑_{i=m−j+1}^{l} \sqrt{OG′^{t}O}_{i,i} \end{matrix} ⋮ \frac{1}{m} (∑_{i=1}^{l} \sqrt{OG′^{t}O}_{i,i})^{2} if \sqrt{(OG′^{t}O)}_{1,1} < \frac{1}{m} ∑_{i=1}^{l} \sqrt{OG′^{t}O}_{i,i} .

3.3 下限の達成

ここでは， (5) の下限がある正則性条件の下で達成されることを示す.

定理 3 モデルが正則性性条件 (B.1)〜(B.5) を満たとする. このとき, b_{n} を lim_{n→∞} b_{n}/n = 0 とすると, 任意の θ ∈ Θ について以下に定義する再帰的推定量 E(b_{n}) について次の式を得る：

lim_{n→∞} n Tr GV_{θ}(E(b_{n})) = C_{θ}(G).  (11)

b_{n} を自然数列としたとき再帰的推定量 E(b_{n}) のは次のように定義される.

未知状態 ρ_{θ} の n 個のサンプルを b_{n} 個のサンプルからなる第一群と残りの第二群とに分ける．まず，第一群のサンプルに測定 M_{0}を施し，確率分布族 {P_{θ}^{(M_{0}×n}|θ ∈ Θ} の最尤推定量θ̂_{0,n}を得る．次に，

Tr G (J Mθ̂_{0,n} ; θ̂_{0,n})^{−1} = Cθ̂_{0,n}(G)

を満たす推定量Mθ̂_{0,n}を第二群のサンプルに行ない，そして確率分布族{P_{θ}^{(Mθ̂_{0}×(n−b_{n}))}|θ ∈ Θ} での最尤推定量θ̌θ̂_{0,n} を最終的な推定値とする.

3.3.1 正則性性条件

正則性条件 (B.1)〜(B.5) は次のように与えられる.

(B.1) 確率分布族 {P_{θ}^{(M_{0}×n)}|θ ∈ Θ} の最尤推定量θ̂_{0,n} が MSE 一致推定量となる M_{0} ∈ M が存在する．

(B.2) パラメーター空間 Θ が有界である.

(B.3) 任意の θ ∈ Θ に対して以下の条件を満たす測定 M_{θ} が存在する:

Tr G (J_{θ}^{M_{θ}})^{−1} = C_{θ}(G).

(B.4) 任意の ϵ > 0, θ ∈ Θ に対して以下の条件を満たす δ_{1} > 0 と十分大きな自然数 N が存在する:

|n Tr GV_{θ,n} − Tr G (J_{θ}^{M_{θ_{0}}})^{−1}| < ϵ, ∀n ≥ N, ∀θ_{0} s.t. d(θ, θ_{0}) ≤ δ_{1}.

ここで V_{θ,n} を確率分布族 {P_{θ}^{M_{θ_{0}}×n}|θ ∈ Θ} の最尤推定量の平均二乗誤差行列をあらわすことにする.

(B.5) 任意の ϵ > 0, θ ∈ Θ に対して以下の条件を満たす δ_{2} > 0, が存在する:

|Tr G (J_{θ}^{M_{θ_{0}}})^{−1} − C_{θ}(G)| < ϵ, ∀θ, ∀θ_{0} s.t. d(θ, θ_{0}) < δ_{2}.

この正則性条件に関して次の補題が成立する．証明は付録で行なう．

補題 4 (B.3) 及び次の条件 (B.5.1)(B.5.2) が成立するとき (B.5) が成立する.

(B.5.1) 写像 θ → C_{θ}(G) が連続.

(B.5.2) 任意の ϵ > 0, θ ∈ Θ に対して以下の条件を満たす δ > 0, が存在する:

|P_{θ}^{M_{θ_{0}}}(B) − P_{θ_{0}}^{M_{θ_{0}}}(B)| < ϵ, |\frac{∂}{∂θ^{i}} P_{θ}^{M_{θ_{0}}}(B) − \frac{∂}{∂θ^{i}} P_{θ_{0}}^{M_{θ_{0}}}(B)| < ϵ,

1 ≤ ∀i ≤ d, ∀B ∈ F(Ω_{M_{θ_{0}}}), ∀θ_{0} s.t. d(θ, θ_{0}) < δ.

3.3.2 (11) の証明

任意の ϵ > 0, θ ∈ Θ に対して, (B.4)(B.5) の条件を満たすように δ_{1}, δ_{2} 及び自然数 N を取る. さらに δ := min(δ_{1}, δ_{2}) とする. このとき, n − b_{n} ≥ N ならば,

n Tr GV_{θ}(E_{n})

= ∫_{Ω^{bn}} Tr GV_{θ}(Mθ̂_{0} × (n − b_{n}), θ̌_{θ̂_{0},n−b_{n}})P_{θ}^{(M_{0}×b_{n})}( dω)

≤ ∫_{d(θ,θ̂_{0})≤δ} Tr GV_{θ}(Mθ̂_{0} × (n − b_{n}), θ̌_{θ̂_{0},n−b_{n}})P_{θ}^{(M_{0}×b_{n})}( dω) + K^{2} Tr G ∫_{d(θ,θ̂_{0}) >δ} P_{θ}^{(M_{0}×b_{n})}( dω)

≤ ∫_{d(θ,θ̂_{0})≤δ} (Tr G (J_{θ}^{Mθ̂_{0}})^{−1} + ϵ) P_{θ}^{(M_{0}×b_{n})}( dω) + K^{2} Tr GP_{θ}^{(M_{0}×b_{n})}{d(θ, θ̂_{0}) > δ}

≤ ∫_{d(θ,θ̂_{0})≤δ} (C_{θ}(G) + 2ϵ) P_{θ}^{(M_{0}×b_{n})}( dω) + K^{2} Tr GP_{θ}^{(M_{0}×b_{n})}{d(θ, θ̂_{0}) > δ}

≤ C_{θ}(G) + 2ϵ + K^{2} Tr GP_{θ}^{(M_{0}×b_{n})}{d(θ, θ̂_{0}) > δ},

が成立する．ただし, ここで sup_{θ∈Θ} ∥θ∥ = K とおいた (B.2). したがって, 条件 (B.1) より第 3 項は n → 0 で 0 になることから次式を得る：

lim_{n→∞} n Tr GV_{θ}(E_{n}) ≤ C_{θ}(G) + 2ϵ.

ここで ϵ が任意であることとから (11) を得る.

4 量子力学系

この節では今まで扱ってきた測定自由度をもつ統計モデルとして量子状態の推定問題を扱う. 量子力学では，状態はある複素ヒルベルト空間 H 上の Hermite 非負定値作用素でトレースが 1 のもので表される. どのようなヒルベルト空間 H をとるかは対象となる系によって異なり， \underline{量子系の表現空間}という．表現空間が H となる量子系の状態の集合を S(H) で表すことにする.

次に測定であるが，測定値のなす集合が Ω_{0} となる測定は F(Ω_{0}) (Ω_{0} 上のσ-field) の各要素 B に対して H 上の作用素 M(B) を対応させる写像 M : B ↦ M(B) で表される. ただし， M は次の条件を満たす：

∘ ∀B ∈ F(Ω_{0}) M(B) = M(B)^{∗} ≥ 0 (Hermite 非負定値),
∘ M(∅) = 0, M(Ω_{0}) = Id,
∘ B_{i} ∩ B_{j} = ∅(i ≠ j) を満たす加算個の集合列{B_{j}} ⊂ F(Ω_{0}) に対し ∑_{j} M(B_{j}) = M (⋃_{j} B_{j}) .

このような条件を満たす写像 M を H 上の測定値の集合をΩ_{0} に持つ量子測定とよび，その全体を M(Ω_{0}, F(Ω_{0}), H) で表すことにする. 状態 ρ ∈ S(H) に対して測定 M ∈ M(Ω_{0}, F(Ω_{0}), H) を行ったときに得られる確率分布は

P_{ρ}^{M}(B) = tr ρM(B), ∀B ∈ F(Ω_{0}),

で表される^{4}.

量子系の測定自由度を持つ統計モデルでは状態族は S(H) の部分集合

S := {ρ_{θ} ∈ S(H) |θ ∈ Θ ⊂ R^{d} }

であり，測定としては任意の集合Ω_{0}の要素を測定値にもつ測定全体を考える．このように測定集合をとっておくと，複数の測定を確率的に重ね合わせた複合測定も自然に測定集合に含まれる．

以下では表記の簡略化のために，測定と推定値の組を考えるのではなく，推定値そのものを返す測定 M(R^{d}, B(R^{d}), H) を推定量と考える．実際，任意の推定量 (M, θ̂) に対して, 測定値の集合を R^{d} に持つ量子測定 M_{0} ∈ M(R^{d}, B(R^{d}), H)

M_{0}(B) := M(θ̂^{−1}(B)), ∀B ∈ B(R^{d})

を定義すれば，

P_{ρ}^{M}(θ̂^{−1}(B)) = P_{ρ}^{M_{0}}(B), ∀B ∈ B(R^{d}), ∀θ ∈ Θ  (12)

が任意の状態ρについて成立するので，推定量 (M, θ̂) と測定 M_{0} ∈ M(R^{d}, B(R^{d}), H) の測定値の統計的振舞いは全く同じである．したがって今後量子系では測定値の集合を R^{d} に持つ量子測定 (M(R^{d}, B(R^{d}), H)) で推定量を定義することにする.

なお，量子系では J_{θ} の最小元 J_{θ} は存在し\underline{SLD Fisher 情報行列}とよばれ, 以下で与えられる. まず\underline{対称対数微分 (SLD)}L_{θ,i} を以下の式を満たすように定義する.

\frac{∂ρ_{θ}}{∂θ^{i}} = \frac{1}{2} (ρ_{θ}L_{θ,i} + L_{θ,i}ρ_{θ})

4ヒルベルト空間 H 上のトレースをパラメーター空間上のトレース Tr と区別して tr 表すことにする.

ρ_{θ} が退化していないときは SLDL_{θ,i} は一意に存在する. この SLD から Fisher 情報行列すなわち, 対称対数微分 (SLD) Fisher 情報行列 J_{θ,i,j} が次のように定義される.

J_{θ,i,j} := \frac{1}{2} tr(L_{θ,i}ρL_{j,θ} + L_{j,θ}ρL_{θ,i})

なお ρ_{θ} が退化しているときは SLD L_{θ} の取り方に自由度はあるものの, J_{θ} については一意に定まる. 今定義した, J_{θ} が J_{θ} の最小元となるが, このことの証明については藤原 [8] 等を参照のこと.

しかし §2.4 及び §3 でも述べたように平均二乗誤差に関して我々の情報の限界を表す量は C_{θ} であって, J_{θ} ではない．ところが，一般に量子系でも C_{θ} は以下に挙げる例を除いては求まっていない．１つ目は量子ガウス状態の推定問題であるがこれは Yuen, Lax [2], Holevo [3] 等により解決された. ２つ目は純粋状態の推定問題であり, これは長岡, 藤原 [9], 松本 [10] 等の努力で大幅に研究が進んだ. ３つ目は Spin 1/2 系 (量子 2 準位系) の推定問題でこれは長岡 [11], 林 [12, 13] により解決された.

なお, この節で導入した量子系についても再帰的推定量に関しては §3 の理論が適用できる. §3.3 での正則性条件 (B.5.2) は量子系では次の (B.5.3) に置き換えられる.

(B.5.3) 任意の ϵ > 0 に対して以下の条件を満たすδ > 0 が存在する:

tr |ρ_{θ} − ρ_{θ_{0}}| < ϵ, tr |\frac{∂ρ_{θ}}{∂θ^{i}} − \frac{∂ρ_{θ_{0}}}{∂θ^{i}} | < ϵ, ∀i ∀θ, ∀θ_{0} s.t. d(θ, θ_{0}) < δ

5 量子相関を用いたパラメーター推定

これまでの節では複数のサンプルが準備されたときに個々のサンプルを個別に測定する場合について考えていた. しかし，量子系ではサンプル同士を相互作用させてから測定することによって，より推定誤差の小さい推定量を構成することができる．このような測定を量子相関を用いた測定とよぶことにする.

この節ではまず n 個のサンプルに対する量子相関を用いた測定を定義するために n 個のサンプルからなる合成系の数学的記述を与える．表現空間が H となる n 個の粒子からなる量子系の表現空間は拡大テンソル空間 H^{(n)} で表され, 状態 ρ が n 個独立に存在するとき合成系上での状態はテンソル状態ρ_{θ}^{(n)} で表される. 拡大テンソル空間 H^{(n)} 及びテンソル状態ρ_{θ}^{(n)} の定義は以下で与えられる:

H^{(n)} := \underbrace{H ⊗ ⋯ ⊗ H}_{n}, ρ_{θ}^{(n)} := \underbrace{ρ_{θ} ⊗ ⋯ ⊗ ρ_{θ}}_{n} .

したがって, 未知状態 ρ_{θ} が n 個準備されたとき, 我々は状態族 {ρ_{θ}^{(n)}|θ ∈ Θ} の推定問題を扱うことになる．

推定量としては H^{(n)} 上の測定値の集合を R^{d} に持つ量子測定 M(R^{d}, B(R^{d}), H^{(n)}) を考えることにする. 例えば n 個のサンプルに対する量子的な再帰的推定量 ({M_{k}(ω_{1}, …, ω_{k−1})}_{k=1}^{n}, θ̂_{n})

は M(R^{d}, B(R^{d}), H^{(n)}) の元としては次のように表現される：

M(B) = ∫_{θ̂_{n}(ω_{1},... ,ω_{k−1})∈B} ⨂_{k=1}^{n} M_{k}(ω_{1}, …, ω_{k−1})(dω_{k}).  (13)

したがって再帰的推定量は今考えている推定量のクラスに含まれる．

しかし，量子相関を用いた推定量はほとんどの場合， (13)のようには書けない．つまり， M(R^{d}, B(R^{d}), H^{(n)}) は再帰的推定量よりもより広いクラスの推定量であり，したがってよりよい推定量をふくむ可能性がある．このようにサンプル間の相関を用いる推定量を構成することは一般の測定自由度をもつ統計モデルでは不可能なことである. この節の目的は M(R^{d}, B(R^{d}), H^{(n)}) の中で推定誤差の限界を考察することにある.

まず， MSE 一致推定量を次のように定義する．

定義 5 拡大テンソル空間 H^{(n)} 上の測定値の集合を R^{d} に持つ量子測定の系列 {M^{n}}_{n=1}^{∞} が以下の式を満たすとき MSE 一致推定量とよぶ：

inf_{n→∞} ∫_{R^{d}} ∥θ̂ − θ∥^{2} tr ρ_{θ}^{(n)}M^{n}( dθ̂) = 0.

以下に示すように， MSE 一致推定量の誤差の達成可能な下限は次に定義する \underline{漸近的 Cramér-Rao 型の下限 C_{θ}^{A}(G)}で与えられる．すなわち，独立にサンプルが n 個準備されたときに構成される状態族 {ρ_{θ}^{(n)}|θ ∈ Θ} におけるθ での Cramér-Rao 型の下限を C_{θ}^{n}(G) で表すと，漸近的 Cramér-Rao 型の下限 C_{θ}^{A}(G) は

C_{θ}^{A}(G) := \underline{lim}_{n→∞} nC_{θ}^{n}(G)

で定義される． C_{θ}(G) ≥ nC_{θ}^{n}(G) となることから次の関係式が分る：

C_{θ}(G) ≥ C_{θ}^{A}(G).

定理 6 MSE 一致推定量 {M^{n}}_{n=1}^{∞} に対して以下の不等式が成立する：

\underline{lim}_{n→∞} n tr GV_{θ} (M^{n}) ≥ C_{θ}^{A}(G).  (14)

証明 Jensen の不等式より

(A_{n})_{j}^{i} := \frac{∂}{∂θ^{j}} E_{θ}^{i}(M) → δ_{j}^{i}  (15)

となる．また,

V_{θ} (M^{n}) ≥ A_{n} (J_{θ}^{M^{n}})^{−1} ^{t}A_{n},
n Tr GV_{θ} (M^{n}) ≥ n tr GA_{n} (J_{θ}^{M^{n}})^{−1} ^{t}A_{n}
≥ nC_{θ}^{n} ( ^{t}A_{n}GA_{n}) ,

が成り立ち，両辺で lim_{n→∞} を取ることにより (15) より (14) を得る. □

各 n に対して量子状態族 {ρ_{θ}^{(n)}|θ ∈ Θ} が正則性条件 (B.1) 〜 (B.5) を満たすとき, 定理 3 の系として以下の定理を得る．定理 7 任意の ϵ > 0 に対してモデル全体でlim_{n→∞} n tr GV_{θ} (M^{n}) ≤ C_{θ}^{A}(G) + ϵ となる一致推定量 {M^{n}}_{n=1}^{∞} を構成することができる.

証明 n 個のサンプルを n_{1}個のサンプルからなる n_{2}個の群に分け，問題を量子状態族 {ρ_{θ}^{(n_{1})}|θ ∈ Θ} の n_{2}個のサンプルによる推定と捉え直す． n_{1}を固定したまま n，すなわち n_{2}を大きくしていくと定理 3 より

lim_{n→∞} n tr GV_{θ} (M^{n}) = lim_{n_{2}→∞} n_{1}n_{2} tr GV_{θ} (M^{n}) = n_{1}C_{θ}^{n_{1}}(G)  (16)

を満たす一致推定量を構成できることがわかる．ここで n_{1}は任意であるから，任意のϵに対して十分大きな n_{1}をとることにより， lim_{n→∞} n tr GV_{θ} (M^{n}) ≤ C_{θ}^{A}(G) + ϵを満たす一致推定量を構成できる． □

6 量子 Spin 1/2 系

この節では量子 Spin 1/2 系を例にとって，サンプル間の相互作用をよるすことにより，確かに推定の誤差を減少させることができることを示す．量子 Spin 1/2 系とは電子の自転による角運動量を表す量子系のことをいい, 表現空間は 2 次元複素ベクトル空間 C^{2} になる. 一般に表現空間が 2 次元複素ベクトル空間 C^{2} になる量子系は量子 2 準位系とよばれる.

このような量子系においては状態のなす集合 S(C^{2}) はトレースが１である 2 × 2 の非負定値複素エルミート行列であり重み行列 G は 2 × 2 の正定値実対称行列で，

G = ( \begin{matrix}g_{1} + g_{2} & g_{3} \\ g_{3} & g_{1} − g_{2} \end{matrix} ) > 0

のようにパラメタライズされる．

Spin 1/2 系ではフルモデル及び任意の部分状態族に対して C_{θ}(G) 及び C_{θ}^{A}(G) は具体的に計算されているが [11, 12, 13]，簡単のために以下の複数の未知パラメーターをもつ２つの部分状態族のみ考えることにする.

未知パラメーターが単数のときは C_{θ}(G) と C_{θ}^{A}(G) は一致してえいまうことが一般に知られている [6] ので，扱わない．また， ρ_{θ} の rank が 1 であるときは C_{θ}(G) と C_{θ}^{A}(G) が一致することを一般に示すことができるが，ここでは例において検証するにとどめる.

6.1 部分状態族 S_{1}

部分状態族 S_{1}を以下のように定義する：

S_{1} := \{ρ_{(θ^{1},θ^{2})} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 + θ^{1} & θ^{2} \\ θ^{2} & 1 − θ^{1} \end{matrix} )| ∥θ∥^{2} = (θ^{1})^{2} + (θ^{2})^{2} ≤ 1\} .  (17)

条件 ∥θ∥^{2} ≤ 1 はρ(θ) の非負定値性を保証するために課されている． C_{θ}(G) 及び C_{θ}^{A}(G) は次のようになる：

C_{θ}(G) = (2 − ∥θ∥^{2}) g_{1} − ∥θ∥^{2}a(G, θ) + \sqrt{(1 − ∥θ∥^{2}) (g_{1}^{2} − g_{2}^{2} − g_{3}^{2})}
≥ (2 − ∥θ∥^{2}) g_{1} − ∥θ∥^{2}a(G, θ) = C_{θ}^{A}(G) = C_{θ}^{S}(G).  (18)

ここで, a(G, θ) := |g_{2} cos 2ϕ + g_{3} sin 2ϕ|, ϕ := arctan \frac{θ^{2}}{θ^{1}} とおいた.

(18) で示されるように C_{θ}^{A}(G) は C_{θ}(G) を下回り，量子相関が有効に活用できることがわかる．また，二つの下限が一致するための必要十分条件は rank ρ = 1 であることが (18) からわかる.

6.2 部分状態族 S_{2}(r)

部分状態族 S_{2}を以下のように定義する：

S_{2}(r) := \{ρ_{(θ,ϕ)} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 + r cos θ & r sin θe^{iϕ} \\ r sin θe^{−iϕ} & 1 − r cos θ \end{matrix} )| 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π\} .

ここで r は既知の定数で， ρ_{(θ,ϕ)}の非負定値性から 0 ≤ r ≤ 1 の値をとる． (θ, ϕ) が推定の対称になるパラメーターである．

すると， C_{θ,ϕ}(G) 及び C_{θ,ϕ}^{A}(G) について次のような関係式を得る：

C_{θ,ϕ}(G) = \frac{2}{r^{2}} (g_{1} + \sqrt{g_{1}^{2} − g_{2}^{2} − g_{3}^{2}}) ≥ \frac{2}{r^{2}} (g_{1} + r\sqrt{g_{1}^{2} − g_{2}^{2} − g_{3}^{2}}) = C_{θ,ϕ}^{A}(G). (19)

(19) の両辺の差がサンプル間の量子相関を用いることによる効果である. なお，等号が成立するための必要十分条件は rank ρ = 1 であることがここでも確認できる.

7 結論

本稿では測定自由度がある統計モデルを一般的に定式化した．量子系の推定問題はその具体例になっている．量子系では，他の測定自由度がある統計モデルと異なり，サンプル間の量子相関を用いることにより推定誤差を小さくできる．具体的に量子 Spin 1/2 の２つの部分状態族での推定問題でそのことを明らかにした．現在のところ, 量子系以外の測定自由度がある統計モデルについてはほとんど研究されていない. 今後このような問題にも取り組む必要がある. また，再帰的な推定量の一次漸近理論も，正則性条件が今のままでは厳しすぎ，今後の改良が望まれる．

A 付録：補題 4 の証明

証明ここで, 推定量 (M, θ̂) に対して, A_{θ}(M, θ̂), B_{θ}(M, θ̂) を次のように定義する：

(A_{θ} (M, θ̂))_{j}^{i} := \frac{∂}{∂θ^{j}} ∫_{Ω} θ̂^{i}(ω)P_{θ}^{M}( dω),
(B_{θ} (M, θ̂))^{i} := ∫_{Ω_{M}} (θ̂^{i}(ω) − θ^{i}) P_{θ}^{M}( dω).

条件 (B.5.2) より任意の ϵ > 0 に対して以下の条件を満たす δ > 0 が存在する:

∥A_{θ} (M_{θ_{0}}, θ̂_{θ_{0}}) − A_{θ_{0}} (M_{θ_{0}}, θ̂_{θ_{0}})∥ < ϵ, ∥B_{θ} (M_{θ_{0}}, θ̂_{θ_{0}}) − B_{θ_{0}} (M_{θ_{0}}, θ̂_{θ_{0}})∥ < ϵ,
∥V_{θ} (M_{θ_{0}}, θ̂_{θ_{0}}) − V_{θ_{0}} (M_{θ_{0}}, θ̂_{θ_{0}})∥ < ϵ,  ∀θ, ∀θ_{0} s.t. d(θ, θ_{0}) < δ.

次に推定量 (M_{θ_{0}}, θ̂_{θ_{0}}) に対してθ ∈ Θ での局所不偏推定量 (M_{θ_{0}}, θ̃_{θ}) を次のように定義する：

θ̃_{θ}(ω) := f (A_{θ} (M_{θ_{0}}, θ̂_{θ_{0}}) , B_{θ} (M_{θ_{0}}, θ̂_{θ_{0}}); θ̂_{θ_{0}}(ω)) .

ここで f(A, B; x) は次のように定義した：

f(A, B; x) := ∑_{j=1}^{d}(A^{−1})_{j}^{i}(x^{j} − B^{j}).

先ほどの δ > 0 を適当に取り直すことにより以下の条件が成立する:

|Tr GV_{θ} (M_{θ_{0}}, θ̃_{θ}) − Tr GV_{θ_{0}} (M_{θ_{0}}, θ̂_{θ_{0}})| < ϵ, |C_{θ_{0}}(G) − C_{θ}(G)| < ϵ,

∀θ, ∀θ_{0} s.t. d(θ, θ_{0}) < δ.  (20)

したがって (20) より, 次の式が成立する：

Tr G (J_{θ}^{M_{θ_{0}}})^{−1} ≤ Tr GV_{θ} (M_{θ_{0}}, θ̃_{θ}) < Tr GV_{θ_{0}} (M_{θ_{0}}, θ̂_{θ_{0}}) + ϵ  (21)
= C_{θ_{0}}(G) + ϵ < C_{θ}(G) + 2ϵ, for d(∀θ, ∀θ_{0}) < δ.  (22)

よって条件 (B.5) が得られた. □

参考文献

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[2] H. P. Yuen and M. Lax, IEEE trans. IT-19, 740 (1973).

[3] A. S. Holevo, Probabilistic and Statistical Aspects of Quantum Theory, (North Holland, Amsterdam, 1982).

[4] A.S. Holevo, IEEE trans. IT-21, 533 (1975).

[5] 長岡浩司 “量子状態推定の漸近理論について,” 数理研究所講究録 879,pp. 155 (1994).

[6] 長岡浩司 “Kullbacl Divergence と Fisher 情報量について -古典系から量子系へ- ,” 情報理論とその応用学会ジョイントミニワークショップ講演資料, pp. 63 (1992).

[7] 長岡浩司, 藤原彰夫, “量子情報理論と相対エントロピー,” 数理科学, No. 380, pp. 50 (1995).

[8] 藤原彰夫, “量子推定理論入門,” “現代数学序説（II） ”(川久保勝夫，宮西正宜編), 大阪大学出版会, 近刊.

[9] A. Fujiwara and H. Nagaoka, “Coherency in view of quantum estimation theory,” in Quantum coherence and decoherence, edited by K. Fujikawa and Y. A. Ono, pp. 303 (Elsevier, Amsterdam, 1996).

[10] K. Matsumoto, ”A Geometrical approach to quantum estimation theory,”doctoral thesis, Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo (1997). METR 96-09, University of Tokyo (1996). LANL e-print quant-ph/9711008 (1997).

[11] 長岡浩司, “エルミート行列の同時対角化のある一般化とその量子推定理論との関係について,” 日本応用数理学会論文誌, vol.1, No.4, pp.305-318, (1991).

[12] M. Hayashi, “A Linear Programming Approach to Attainable Cramér-Rao Type Bound,” in Quantum Communication, Computing, and Measurement, edited by O. Hirota, A. S. Holevo, and C. M. Caves, (Plenum Publishing, New York, 1997).

[13] M. Hayashi, Kyoto-Math 97-08, Kyoto University (1997). LANL e-print quant-ph/9704044 (1997).

[14] R. R. Bucklew Large Deviation Techniques in Decision, Simulation, and Estimation (Wiley, New York, 1990).